1 Nociones basicas
Definición 1.1.
Un conjunto (denotado con letras mayusculas
etc.) es una coleccion de elementos, usualmente denotados con letras minusculas (a,b,c,etc.). En los conjuntos no importa el orden de los elementos.
Si queremos indicar todos los elementos que pertenecen a un conjunto, los indicaremos entre llaves. Por ejemplo,
Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto escribiremos . El conjunto que no contiene ningun elemento se llama conjunto vacio y se escribe .
Ejemplo.
es el conjunto de los numeros naturales.
es el conjunto de los numeros enteros.
es el conjunto de los numeros racionales.
es el conjunto de los numeros reales.
es el conjunto de los numeros complejos. .
Definición 1.2.
El producto cartesiano de dos conjuntos y se denota como y se define por
Es decir, es el conjunto de todas las posibles parejas donde el primer numero pertenece al conjunto y el segundo pertenece al conjunto .
El producto cartesiano se escribe . En caso general, se define como
Definición 1.3.
Una operacion binaria interna de un conjunto es una aplicacion
que a cada elemento le asigna un unico elemento de , denotado por . Para indicar que tiene una operacion binaria interna habitualmente escribiremos .
Ejemplo.
En el conjunto de los numeros naturales, se pueden definir dos operaciones binarias internas:
Decimos que es elemento neutro de si para todo .
La operación interna en es asociativa si . La operación interna en es conmutativa si .
El inverso de un elemento respecto de la operación interna , si existe, es otro elemento tal que . El inverso de cada elemento es único cuando es asociativa.
Demostración.
Supongamos que existe tal que y , con asociativa.
∎
El inverso de respecto de se suele denotar .
Caso particular: si la operacion interna en es la suma , el elemento neutro se denota como y el inverso, si existe, de un elemento se suele llamar opuesto y se denota como .
Definición 1.4 (Grupo).
Un conjunto con una operacion binaria interna es un grupo si tiene elemento neutro, si es asociativa y si todo elemento de tiene inverso. Si ademas es conmutativa, es un grupo conmutativo o abeliano.
Definición 1.5 (Anillo).
Un conjunto con dos operaciones internas, denotadas y , es un anillo si cumple:
-
es un grupo abeliano.
-
es asociativa.
-
Distributividad:
Si, ademas, existe elemento neutro respecto de la operación , será un anillo unitario. Si es conmutativa, es un anillo conmutativo.
Definición 1.6 (Cuerpo).
Un cuerpo es un anillo conmutativo unitario en el que, además, todo elemento distinto del elemento neutro de la suma tiene inverso respecto de .