6 Subespacios vectoriales
Definición 6.1 (Subespacio vectorial).
Sea
Notacion:
En particular, la suma de vectores de
-
, -
.
Proposición 6.1.
Sea
-
1.
es un subespacio vectorial de . -
2.
y para todo -
3.
Se cumplen las tres condiciones:
-
a)
-
b)
-
c)
-
a)
Demostración.
-
Directo por la definicion.
-
Como
existe al menos un vector . Tomando tenemos queAdemas, para todo
, tomando , tenemos , y tomando y tenemos . -
La condicion 1 asegura que
. Ademas, las condiciones 2 y 3 aseguran que se pueden definir la suma de vectores y el producto por escalares en :Ademas los axiomas 1-5 se cumplen para vectores de
porque se cumplen para vectores de y .
∎
Cuando queramos comprobar si un subconjunto es o no subespacio vectorial de
Ejemplo.
Veamos varios ejemplos de subconjuntos que son o no subespacios de los espacios vectoriales dados:
-
1.
e.v. sobre . ya que , y . e.v. sobre . no es un subespacio vectorial de V. Contraejemplo: -
2.
e.v. sobre .-
es un subespacio de V, demostrandolo con el mismo procedimiento. -
es un subespacio vectorial de . -
es subespacio vectorial de .-
•
porque . -
•
Sean
y . Sabemos queSi
y , . Es decir, .
-
•
-
-
3.
Consideremos
como espacio vectorial sobre . Entonces-
es un subespacio vectorial de . -
es un subespacio vectorial de .Si
, . Por otro lado, si y , entonces .Esto tambien se cumple con el conjunto de matrices antisimétricas.
-
no es subespacio vectorial de .Contraejemplo:
, , pero
-
Proposición 6.2 (Interseccion y union de subespacios).
Dada una colección de subespacios
Sin embargo, la unión de subespacios vectoriales, en general, no es subespacio.
Por ejemplo, si consideramos
no es subespacio vectorial:
El menor subespacio que contiene a dos subespacios dados es la suma de subespacios.
Definición 6.2.
Sea
Proposición 6.3.
Demostración.
-
1.
Como
y , entones -
2.
Si
y , donde y , entonces -
3.
Si
, donde y , y entonces
∎
Más en general, se puede considerar la suma de
Definición 6.3 (Suma directa).
Decimos que dos subespacios
Si ademas