13 Criterios de la raíz y del cociente

Teorema 13.1 (Criterio de la raíz).

Sea (xn)n=1∞⊂[0,∞)\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset[0,\infty) tal que l⁢ı´⁢mn→∞xnn=r∈[0,∞)\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}% \sqrt[n]{x_{n}}=r\in[0,\infty). Entonces:

  •  
    ​

    Si r<1⇒∑n=1∞xn<∞\displaystyle r<1\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}<\infty

  •  
    ​

    Si r>1⇒∑n=1∞xn=+∞\displaystyle r>1\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}=+\infty

Demostración.
  1. 1.
    ​

    Si r<1\displaystyle r<1, sea y∈R+\displaystyle y\in R^{+} tal que r<y<1\displaystyle r<y<1. Como l⁢ı´⁢mn→∞xnn=r\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}% \sqrt[n]{x_{n}}=r existe n0∈ℕ\displaystyle n_{0}\in\mathbb{N} tal que ∀n≥n0\displaystyle\forall n\geq n_{0} se verifica que xnn<y\displaystyle\sqrt[n]{x_{n}}<y, es decir, ∀n≥n0,xn<yn\displaystyle\forall n\geq n_{0},x_{n}<y^{n} y puesto que la serie geométrica ∑yn\displaystyle\sum y^{n} es convergente por ser de razón 0<y<1\displaystyle 0<y<1, la serie ∑xn\displaystyle\sum x_{n} es convergente por el primer criterio de comparación (12.1).

  2. 2.
    ​

    Si r>1\displaystyle r>1, existe n0∈ℕ\displaystyle n_{0}\in\mathbb{N} tal que ∀n≥n0\displaystyle\forall n\geq n_{0} xn>1\displaystyle x_{n}>1, con lo que l⁢ı´⁢mn→∞xn≠0\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{% n}\neq 0 y, por consiguiente, la serie ∑xn\displaystyle\sum x_{n} no es convergente.

∎

Teorema 13.2 (Criterio del cociente).

Sea (xn)n=1∞⊂(0,∞)\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset(0,\infty) con l⁢ı´⁢mn→∞xn+1xn=r∈[0,∞)\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}% \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=r\in[0,\infty). Entonces:

  •  
    ​

    Si r>1\displaystyle r>1, ∑n=1∞xn<∞\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}<\infty

  •  
    ​

    Si r>1⇒∑n=1∞xn=∞\displaystyle r>1\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}=\infty

Demostración.
  1. 1.
    ​

    Si r<1\displaystyle r<1, sea y∈ℝ+\displaystyle y\in\mathbb{R}^{+} tal que r<y<1\displaystyle r<y<1. Como l⁢ı´⁢mn→∞xn+1xn=r\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}% \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=r existe n0∈ℕ\displaystyle n_{0}\in\mathbb{N} tal que ∀n≥n0\displaystyle\forall n\geq n_{0} se verifica que xn+1xn<y\displaystyle\frac{x_{n+1}}{x_{n}}<y, es decir, ∀n≥n0⁢xn+1<xn⁢y\displaystyle\forall n\geq n_{0}x_{n+1}<x_{n}y por lo que, obviamente, xn+2<xn+1⁢y<xn⁢y2\displaystyle x_{n+2}<x_{n+1}y<x_{n}y^{2} y ∀k∈ℕ⁢xn+k<xn⁢yk\displaystyle\forall k\in\mathbb{N}\;x_{n+k}<x_{n}y^{k}. Así pues, escribiendo ∀n≥n0\displaystyle\forall n\geq n_{0}, n=n0+k\displaystyle n=n_{0}+k, resultará que xn≤xn0⁢yn−n0\displaystyle x_{n}\leq x_{n_{0}}y^{n-n_{0}} y, siendo M=xn0⁢y−n0\displaystyle M=x_{n_{0}}y^{-n_{0}}, resulta que ∀n≥n0⁢xn<M⁢yn\displaystyle\forall n\geq n_{0}\;x_{n}<My^{n}. La convergencia de la serie ∑xn\displaystyle\sum x_{n} se sigue del primer criterio de comparación (12.1), puesto que ∑yn\displaystyle\sum y^{n} es convergente por ser una serie geométrica de razón |y|<1\displaystyle\left|y\right|<1.

  2. 2.
    ​

    Si r>1\displaystyle r>1, consideramos y∈ℝ+\displaystyle y\in\mathbb{R}^{+} tal que 1<y<r\displaystyle 1<y<r. Entonces existe n0∈ℕ\displaystyle n_{0}\in\mathbb{N} tal que ∀n≥n0\displaystyle\forall n\geq n_{0} se verifica que xn+1xn≥y≥1\displaystyle\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\geq y\geq 1, con lo que l⁢ı´⁢mn→∞xn≠0\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{% n}\neq 0 y, por tanto, la serie ∑xn\displaystyle\sum x_{n} no converge.

∎