22 Teoremas sobre Funciones Derivables

Teorema 22.1 (de Rolle).

Supongamos $\displaystyle f$ continua en $\displaystyle[a,b]$ y derivable en $\displaystyle(a,b)$ . Si $\displaystyle f(a)=f(b)$ , entonces existe $\displaystyle c\in(a,b)$ tal que

\displaystyle f^{\prime}(c)=0

Demostración.

Sea $\displaystyle f$ una funcion continua en $\displaystyle[a,b]$ , derivable en $\displaystyle(a,b)$ y $\displaystyle f(a)=f(b)$ . Definimos otra funcion $\displaystyle g(x)=f(x)-f(a)$ . Entonces $\displaystyle g(a)=f(a)-f(a)=0$ y $\displaystyle g(b)=f(b)-f(a)=0$ . Es obvio que $\displaystyle g$ es continua en $\displaystyle[a,b]$ , derivable en $\displaystyle(a,b)$ y $\displaystyle g(a)=g(b)=0$ .

1 Caso: $\displaystyle g(x_{0})>0$ $\displaystyle x_{0}\in(a,b)$ . Como $\displaystyle g$ es continua en $\displaystyle[a,b]\Rightarrow\exists x_{M}\mid g(x)\leq g(x_{M})\;\forall x\in% [a,b]$ . Ademas, como $\displaystyle g(x_{0})>0\Rightarrow g(x_{M})>0$ . Aplicando el teorema del extremo interior, 21.3, se tiene que $\displaystyle g^{\prime}(x_{M})=0$ , luego $\displaystyle c=x_{M}$ .
2 Caso: $\displaystyle g(x_{0})<0\;\forall x_{0}\in(a,b)$ . Definimos $\displaystyle G=-g\Rightarrow g(x_{0})>0$ y $\displaystyle G(a)=-g(a)=g(a)=G(b)$ . Aplicamos el primer caso y obtenemos el resultado.

∎

Teorema 22.2 (del valor medio).

Supongamos $\displaystyle f$ continua en $\displaystyle[a,b]$ y derivable en $\displaystyle(a,b)$ . Entonces existe $\displaystyle c\in(a,b)$ tal que

\displaystyle f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

Demostración.

Definimos la función $\displaystyle\varphi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ .

$\displaystyle\varphi$ es una funcion continua en $\displaystyle[a,b]$ por ser suma de funciones continuas.
$\displaystyle\varphi$ es derivable en $\displaystyle(a,b)$
$\displaystyle\varphi(a)=f(a)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a)=0$
$\displaystyle\varphi(b)=f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(b)-f(a)-f(b)+f(% a)=0$

Por el teorema de Rolle, sabemos que $\displaystyle\exists c\in(a,b)\mid\varphi^{\prime}(c)=0$ . Derivamos $\displaystyle\varphi$ y nos queda

\displaystyle\varphi^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot 1

Evaluando en $\displaystyle c,$ $\displaystyle 0=\varphi^{\prime}(c)=f^{\prime}(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}% \Rightarrow f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . ∎

Observación.

Consecuencias del teorema del valor medio:

Si $\displaystyle f^{\prime}(x)=0\;\forall x\in(a,b)\Rightarrow f(x)$ es una constante. Sea $\displaystyle f$ una funcion definida entre $\displaystyle[a,b]$ tal que $\displaystyle f^{\prime}(x)=0\forall x\in(a,b)$ . Como es derivable, tambien es continua. Definimos un punto $\displaystyle x\in(a,b)$ Comprobamos las hipotesis del valor medio por $\displaystyle f$ en el intervalo $\displaystyle[a,x]$ .
- •
  
  $\displaystyle f$ es continua en $\displaystyle[a,x]$ porque lo es en $\displaystyle[a,b]\supset[a,x]$ .
- •
  
  $\displaystyle f$ es derivable en $\displaystyle(a,x)$ porque es derivable en $\displaystyle(a,b)\supset(a,x)$ .
Por el teorema del valor medio, $\displaystyle\exists c\in(a,x)\mid f(x)-f(a)=f^{\prime}(c)(x-a)=0(x-a)=0$ . Luego $\displaystyle f(x)=f(a)$ . Por tanto, $\displaystyle f(x)=f(a)\;\forall x\in(a,b)$ y es constante.

Si $\displaystyle f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)\;\forall x\in(a,b)\Rightarrow f(x)=g% (x)+C\;\forall x\in(a,b)$ . Sean $\displaystyle f,g$ funciones definidas en $\displaystyle[a,b]$ tal que $\displaystyle f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)\;\forall x\in(a,b)$ . Dado un punto $\displaystyle x\in(a,b)$ , se tiene que:

•

$\displaystyle f,g$ son continuas en $\displaystyle[a,x]$ porque lo son en $\displaystyle[a,b]$ .
•

$\displaystyle f,g$ son derivables en $\displaystyle(a,x)$ porque lo son en $\displaystyle(a,b)$ .

Por el teorema del valor medio, $\displaystyle\exists c\in(a,x)$ tal que

\displaystyle\begin{dcases}f(x)-f(a)=f^{\prime}(c)(x-a)\Rightarrow f(x)=f^{% \prime}(c)\cdot(x-a)+f(a)\\ g(x)-g(a)=g^{\prime}(c)(x-a)\Rightarrow g(x)=g^{\prime}(c)\cdot(x-a)+g(a)\end{dcases}

Si restamos las funciones, y teniendo en cuenta que $\displaystyle f^{\prime}(c)=g^{\prime}(c)$ , nos queda

	$\displaystyle\displaystyle f(x)-g(x)$	$\displaystyle\displaystyle=\cancel{f^{\prime}(c)\cdot(x-a)}+f(a)-(\cancel{g^{% \prime}(c)\cdot(x-a)}+g(a))=f(a)-g(a)$
		$\displaystyle\displaystyle\Rightarrow f(x)=g(x)+\underbrace{(f-g)(a)}_{\text{% constante}}$

Por tanto, $\displaystyle f(x)=g(x)+C$ .

Teorema 22.3 (de L’Hopital).

Si se verica que $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}f(x% )=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}g(x)=0$ o $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}f(x% )=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}=\infty$ , entonces

\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to\alpha}% \frac{f(x)}{g(x)}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to% \alpha}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}

si el segundo límite tiene sentido.

Demostración.

No visto en clase. ∎

Ejemplo.

Calcular $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0^{+}}x^{% \sin x}$ .

\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0^{+}}x^{% \sin x}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0^{+}}e^{\ln(x% \sin x)}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0^{+}}e^{\sin x% \ln x}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0^{+}}e^{\frac{% \ln x}{1/\sin x}}=(y=\frac{\ln x}{1/x})=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath% }}m}\limits_{y\to??}e^{y}.

Por otro lado,

	$\displaystyle\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x% \to 0^{+}}\frac{\ln x}{1/\sin x}\overset{(\frac{\infty}{\infty})L^{\prime}H}{=}$	$\displaystyle\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x% \to 0^{+}}\frac{1/x}{(-1)(\sin x)^{-2}\cos x}=\mathop{\operator@font l\acute{{% \imath}}m}\limits_{x\to 0^{+}}\frac{-(\sin x)^{2}}{x\cos x}$
		$\displaystyle\displaystyle=-\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_% {x\to 0^{+}}\frac{\sin x\cdot\sin x}{x\cdot\cos x}=-\mathop{\operator@font l% \acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0^{+}}\sin x\ \cdot\mathop{\operator@font l% \acute{{\imath}}m}\limits_{x\to 0^{+}}\frac{\sin x}{\cos x}\overset{L^{\prime}% H}{=}1\cdot 0=0$

Luego $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{y\to 0}e^{y}=e% ^{0}=1$ .