25 Qué es la integral?

Dados a,b∈ℝ\displaystyle a,b\in\mathbb{R}, con a<b\displaystyle a<b, y una función acotada f⁢(x)\displaystyle f(x), estamos interesados en calcular:

∫abf⁢(x)⁢dx= Área Azul − Área Roja\displaystyle\int^{b}_{a}f(x)\;\mathrm{d}x=\text{ \'{A}rea Azul }-\text{ \'{A}% rea Roja}

Para ello, definimos una particion del intervalo [a,b]\displaystyle[a,b]:

a=x0<x1<⋯<xn=b\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b

y las cantidades Mi=sup{f⁢(x)∣x∈[xi−1,xi]}\displaystyle M_{i}=\sup\{f(x)\mid x\in[x_{i-1},x_{i}]\} y mi=ı´⁢nf{f⁢(x)∣x∈[xi−1,xi]}\displaystyle m_{i}=\mathop{\operator@font\acute{{\imath}}nf}\{f(x)\mid x\in[x% _{i-1},x_{i}]\}.

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Ahora, definimos la suma superior e inferior asociada a la particion:

U=∑i=1nMi⁢(xi−xi−1)⁢ y ⁢L=∑i=1nmi⁢(xi−xi−1)⁢ (áreas rectangulos)\displaystyle U=\sum_{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})\text{ y }L=\sum_{i=1}^{n}m_% {i}(x_{i}-x_{i-1})\text{ (\'{a}reas rectangulos)}

Observamos que L≤U\displaystyle L\leq U para cualquier particion. De hecho, si cogemos todas las particiones posibles y nos quedamos con el supremo de L\displaystyle L y el infimo de U\displaystyle U, seguimos manteniendo la desigualdad:

supL≤ı´⁢nfU\displaystyle\sup L\leq\mathop{\operator@font\acute{{\imath}}nf}U

En el caso de que ambas cantidades sean iguales, diremos que f\displaystyle f es integrable en [a,b]\displaystyle[a,b] y definimos la integral como

∫abf=∫abf⁢(x)⁢dx=supL=ı´⁢nfU\displaystyle\int^{b}_{a}f=\int^{b}_{a}f(x)\;\mathrm{d}x=\sup L=\mathop{% \operator@font\acute{{\imath}}nf}U

Además, definimos ∫baf=−∫abf\displaystyle\int^{a}_{b}f=-\int^{b}_{a}f y ∫aaf=0\displaystyle\int^{a}_{a}f=0.