4 Propiedades topológicas de los numeros reales

4.1 Propiedad arquimediana

Proposición 4.1 (Propiedad de Arquimedes).

El conjunto de los numeros naturales no está acotado superiormente en ℝ\displaystyle\mathbb{R}, o equivalentemente, si x∈ℝ\displaystyle x\in\mathbb{R} entonces existe n∈ℕ\displaystyle n\in\mathbb{N} tal que x<n\displaystyle x<n.11 1 No visto en clase.

Demostración.

Supongamos que ℕ\displaystyle\mathbb{N} esta acotado. Como es un subconjunto de ℝ\displaystyle\mathbb{R} no vacÍo, entonces existirÁ el supremo de ℕ\displaystyle\mathbb{N}, al que denotaremos p\displaystyle p. Como p\displaystyle p es una cota superior mínima de ℕ\displaystyle\mathbb{N}, el numero p−1\displaystyle p-1 no puede ser una cota superior, con lo que debe haber algun numero natural n∈ℕ\displaystyle n\in\mathbb{N}, de manera que p−1<n≤p\displaystyle p-1<n\leq p. Pero, en ese caso, sumando 1\displaystyle 1 a n\displaystyle n, tendríamos que p<n+1\displaystyle p<n+1, con n+1∈ℕ\displaystyle n+1\in\mathbb{N}, por lo que p\displaystyle p no puede ser el supremo de ℕ\displaystyle\mathbb{N}. Hemos llegado a una contradiccion. No hay supremo de ℕ\displaystyle\mathbb{N} y, por tanto, ℕ\displaystyle\mathbb{N} no puede estar acotado. ∎

A partir de esta propiedad se siguen consecuencias muy importantes que permiten relacionar los naturales, enteros y racionales con los numeros reales:

Proposición 4.2 (Propiedad arquimediana de los numeros reales).

Si x,y∈ℝ\displaystyle x,y\in\mathbb{R} con 0<x\displaystyle 0<x, ∃n∈ℕ\displaystyle\exists n\in\mathbb{N} de manera que y<n⁢x\displaystyle y<nx.

Demostración.

Consideramos el número real yx\displaystyle\frac{y}{x}. Como los naturales no están acotados en ℝ\displaystyle\mathbb{R}, existirá algun numero natural n\displaystyle n de manera que yx<n\displaystyle\frac{y}{x}<n, y multiplicando ambos lados de la desigualdad por x\displaystyle x llegamos a que y<n⁢x\displaystyle y<nx. ∎

4.2 Principio de los intervalos encajados

Supongamos que tenemos [a1,b1],[a2,b2],…,[an,bn],…\displaystyle[a_{1},b_{1}],[a_{2},b_{2}],\ldots,[a_{n},b_{n}],\ldots con n∈ℕ\displaystyle n\in\mathbb{N} infinitos intervalos cerrados. Estos intervalos estan encajados cuando se verifica que [an,bn]⊂[an−1,bn−1]\displaystyle[a_{n},b_{n}]\subset[a_{n-1},b_{n-1}], es decir, cuando cada intervalo esta contenido en el anterior. Cuando tenemos infinitos intervalos cerrados encajados ocurre el “principio de los intervalos encajados de Cantor”: Si [a1,b1],[a2,b2],…,[an,bn],…\displaystyle[a_{1},b_{1}],[a_{2},b_{2}],\ldots,[a_{n},b_{n}],\ldots son infinitos intervalos encajados, entonces hay al menos un punto comun a todos los intervalos ya que, si consideramos el conjunto A={an∣n∈ℕ}\displaystyle A=\{a_{n}\mid n\in\mathbb{N}\} formado por todos los extremos izquierdos de los intervalos, al estar todos los intervalos encajados, resulta que:

a1≤a2≤⋯≤an≤an+1≤⋯\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq\cdots\leq a_{n}\leq a_{n+1}\leq\cdots

De la misma manera resulta que an≤bm\displaystyle a_{n}\leq b_{m} para cualesquiera m,n∈ℕ\displaystyle m,n\in\mathbb{N}, ya que en caso contrario los intervalos dejarian de estar encajados.

En particular, el conjunto A\displaystyle A es acotado. Sea a=supA\displaystyle a=\sup A. Por un lado an≤a\displaystyle a_{n}\leq a, ya que es una cota superior de A\displaystyle A. Por otro lado, como cualquier bn\displaystyle b_{n} es cota superior de A\displaystyle A, por lo que el supremo sera menor, es decir, a≤bn\displaystyle a\leq b_{n}. Esto quiere decir que sea cual sea n,a∈[an,bn]\displaystyle n,a\in[a_{n},b_{n}], y por tanto a\displaystyle a es un punto comun a todos estos intervalos.22 2 No visto en clase.

4.3 Densidad de ℚ\displaystyle\mathbb{Q} en ℝ\displaystyle\mathbb{R}

Entre dos numeros reales distintos cualesquirea siempre existe un numero racional (de hecho, infinitos)2. Concretamente:

Proposición 4.3.
∀x,y∈ℝ,x<y,∃r∈ℚ⁢ tal que ⁢x<r<y\displaystyle\forall x,y\in\mathbb{R},x<y,\exists r\in\mathbb{Q}\text{ tal que% }x<r<y
Demostración.

Si x,y∈ℝ\displaystyle x,y\in\mathbb{R} con x<y\displaystyle x<y, resulta que 0>(y−x)\displaystyle 0>(y-x) y, por la propiedad arquimediana aplicada a los numeros 1\displaystyle 1 e (y−x)>0\displaystyle(y-x)>0 tendremos que ∃n∈ℕ\displaystyle\exists n\in\mathbb{N} de manera que 1<n⁢(y−x)\displaystyle 1<n(y-x) por lo que (1+n⁢x)<n⁢y\displaystyle(1+nx)<ny. Si p∈ℤ\displaystyle p\in\mathbb{Z} es la parte entera de n⁢x\displaystyle nx, es decir, p≤n⁢x<(p+1)\displaystyle p\leq nx<(p+1) tendremos que n⁢x<p+1≤n⁢x+1<n⁢y\displaystyle nx<p+1\leq nx+1<ny y, en particular, que n⁢x<p+1<n⁢y\displaystyle nx<p+1<ny. Así pues, siendo r=p+1n\displaystyle r=\frac{p+1}{n} que, obviamente, es un numero racional, obtendremos que x<r<y\displaystyle x<r<y. ∎

4.4 Valor absoluto de un numero real

Dado x∈ℝ\displaystyle x\in\mathbb{R} se define su valor absoluto como |x|=m⁢a⁢x⁢{x,−x}={x⁢ si ⁢x≥0,−x⁢ si ⁢x<0\displaystyle|x|=max\{x,-x\}=\begin{dcases}x\text{ si }x\geq 0,\\ -x\text{ si }x<0\end{dcases}.

Algunas propiedades del valor absoluto son:

  •  
    ​

    |x⋅y|=|x|⋅|y|⁢∀x,y∈ℝ\displaystyle|x\cdot y|=|x|\cdot|y|\;\forall x,y\in\mathbb{R}. Veamos la demostracion. Sabemos que |x|={x⁢ si ⁢x≥0−x⁢ si ⁢x<0\displaystyle|x|=\begin{dcases}x\text{ si }x\geq 0\\ -x\text{ si }x<0\end{dcases} y |y|={y⁢ si ⁢y≥0−y⁢ si ⁢y<0\displaystyle|y|=\begin{dcases}y\text{ si }y\geq 0\\ -y\text{ si }y<0\end{dcases}. Por tanto, |x⋅y|={x⋅y⁢ si ⁢x⁢y≥0−x⋅y⁢ si ⁢x⁢y<0\displaystyle|x\cdot y|=\begin{dcases}x\cdot y\text{ si }xy\geq 0\\ -x\cdot y\text{ si }xy<0\end{dcases} Consideramos los 4 casos segun el valor de x\displaystyle x e y\displaystyle y.

    • •
      ​

      Si x≥0\displaystyle x\geq 0, y≥0\displaystyle y\geq 0, |x|⋅|y|=x⋅y=|x⋅y|\displaystyle|x|\cdot|y|=x\cdot y=|x\cdot y|

    • •
      ​

      Si x≥0\displaystyle x\geq 0, y<0\displaystyle y<0, entonces |x|⋅|y|=x⋅(−y)=−(x⋅y)=|x⋅y|\displaystyle|x|\cdot|y|=x\cdot(-y)=-(x\cdot y)=|x\cdot y|.

    • •
      ​

      Si x<0\displaystyle x<0, y≥0\displaystyle y\geq 0, entonces |x|⋅|y|=(−x)⋅y=−(x⋅y)=|x⋅y|\displaystyle|x|\cdot|y|=(-x)\cdot y=-(x\cdot y)=|x\cdot y|

    • •
      ​

      Si x<0,y<0\displaystyle x<0,y<0, |x|⋅|y|=(−x)⁢(−y)=x⋅y=|x⋅y|\displaystyle|x|\cdot|y|=(-x)(-y)=x\cdot y=|x\cdot y|

  •  
    ​

    Dados x∈ℝ\displaystyle x\in\mathbb{R} y a≥0\displaystyle a\geq 0, se tiene que |x|≤a⇔−a≤x≤a\displaystyle|x|\leq a\Leftrightarrow-a\leq x\leq a. |x|=m⁢a⁢x⁢{x,−x}≤a⇔x≤a\displaystyle|x|=max\{x,-x\}\leq a\Leftrightarrow x\leq a y −x≤a\displaystyle-x\leq a ⇔x≤a\displaystyle\Leftrightarrow x\leq a y x≥−a\displaystyle x\geq-a ⇔−a≤x≤a\displaystyle\Leftrightarrow-a\leq x\leq a

    Ejemplo.

    |x−a|≤ε⇔−ε≤x−a≤ε⇔x−ε≤x≤a+ε⇔x∈[a−ε,a+ε]\displaystyle|x-a|\leq\varepsilon\Leftrightarrow-\varepsilon\leq x-a\leq% \varepsilon\Leftrightarrow x-\varepsilon\leq x\leq a+\varepsilon% \Leftrightarrow x\in[a-\varepsilon,a+\varepsilon] |x−a|<ε⇔x∈(a−ε,a+ε)\displaystyle|x-a|<\varepsilon\Leftrightarrow x\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon)

  •  
    ​

    Es falso que |x+y|=|x|+|y|⁢∀x,y∈ℝ\displaystyle|x+y|=|x|+|y|\;\forall x,y\in\mathbb{R}. Consideramos un contraejemplo: |3+(−3)|=|3|+|−3|=6≠0\displaystyle|3+(-3)|=|3|+|-3|=6\neq 0.

  •  
    ​

    |x+y|≤|x|+|y|\displaystyle|x+y|\leq|x|+|y|, o equivalentemente, −(|x|+|y|)≤|x+y|≤|x|+|y|\displaystyle-(|x|+|y|)\leq|x+y|\leq|x|+|y|. Veamos la demostración:

    −|x|≤x≤|x|−|y|≤y≤|y|−|x|−|y|≤x+y≤|x|+|y|\displaystyle\begin{array}[]{c}-|x|\leq x\leq|x|\\ -|y|\leq y\leq|y|\\ \hline\cr-|x|-|y|\leq x+y\leq|x|+|y|\end{array}
  •  
    ​

    En general, es falso que dados x,y∈ℝ\displaystyle x,y\in\mathbb{R} |x−y|≤|x|−|y|\displaystyle|x-y|\leq|x|-|y| ya que, por ejemplo, si tomamos x=3\displaystyle x=3 y y=−2\displaystyle y=-2, se cumple |x−y|⏟=5>|x|⏟=3−|y|⏟=2=1\displaystyle\underbrace{|x-y|}_{=5}>\underbrace{|x|}_{=3}-\underbrace{|y|}_{=% 2}=1

4.5 Entornos, puntos interiores, puntos adherentes, puntos de acumulacion

Dado un numero real x∈ℝ\displaystyle x\in\mathbb{R}, se denomina entorno de x\displaystyle x a cualquier intervalo (a,b)\displaystyle(a,b) tal que x∈(a,b)\displaystyle x\in(a,b). Habitualmente se suelen considerar entornos centrados en el punto x\displaystyle x, de manera que si ε>0\displaystyle\varepsilon>0, (x−ε,x+ε)\displaystyle(x-\varepsilon,x+\varepsilon) es un entorno de x\displaystyle x. También se considera lo que se denomina “entorno reducido” del punto x\displaystyle x, que es cualquier entorno de x\displaystyle x en el que se ha eliminado el propio punto x\displaystyle x, por ejemplo, (x−ε,x)∪(x,x+ε)=(x−ε,x+ε)−{x}\displaystyle(x-\varepsilon,x)\cup(x,x+\varepsilon)=(x-\varepsilon,x+% \varepsilon)-\{x\}. Dado A⊂ℝ\displaystyle A\subset\mathbb{R} se dice que:

  •  
    ​

    x∈A\displaystyle x\in A es un punto interior de A\displaystyle A si existe un entorno de x\displaystyle x completamente contenido en A\displaystyle A, es decir, si existe ε>0\displaystyle\varepsilon>0 tal que (x−ε,x+ε)⊂A\displaystyle(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset A.

  •  
    ​

    x∈ℝ\displaystyle x\in\mathbb{R} es punto adherente de A\displaystyle A si en cualquier entorno de x\displaystyle x hay puntos de A\displaystyle A, es decir, si ∀ε>0\displaystyle\forall\varepsilon>0 se verifica que (x−ε,x+ε)∩A≠∅\displaystyle(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap A\neq\varnothing.

  •  
    ​

    x∈ℝ\displaystyle x\in\mathbb{R} es un punto de acumulacion de A\displaystyle A si en cualquier entorno reducido de x\displaystyle x hay puntos de A\displaystyle A, es decir, si ∀ε>0\displaystyle\forall\varepsilon>0 se verifica que ((x−ε,x+ε)−{x})∩A≠∅\displaystyle((x-\varepsilon,x+\varepsilon)-\{x\})\cap A\neq\varnothing.

    A′={x∈ℝ∣x⁢ es un punto de acumulacion de ⁢A}\displaystyle A^{\prime}=\{x\in\mathbb{R}\mid x\text{ es un punto de % acumulacion de }A\}

Dado ahora A⊂ℝ\displaystyle A\subset\mathbb{R},

  •  
    ​

    al conjunto Å\displaystyle\AA formado por todos los puntos interiores de A\displaystyle A se le denomina interior de A\displaystyle A. Obviamente Å⊂A\displaystyle\AA\subset A.

  •  
    ​

    al conjunto A¯\displaystyle\overline{A} formado por todos los puntos adherentes de A\displaystyle A se le denomina adherencia de A\displaystyle A. Evidentemente A¯⊂A\displaystyle\overline{A}\subset A. Si A¯=A\displaystyle\overline{A}=A se dice que el conjunto A\displaystyle A es cerrado.

Ejemplo.

Consideramos A⊂ℝ\displaystyle A\subset\mathbb{R} con A=(1,2)\displaystyle A=(1,2). En este caso, Å=(1,2)=A\displaystyle\AA=(1,2)=A, A′=[1,2]\displaystyle A^{\prime}=[1,2], A¯=[1,2]\displaystyle\overline{A}=[1,2]. Å=A⇒\displaystyle\AA=A\Rightarrow A\displaystyle A es abierto. A¯⊇A⇒A\displaystyle\overline{A}\supseteq A\Rightarrow A no es cerrado.

Ejemplo.

Sea A=[1,2)\displaystyle A=[1,2). En este caso, Å=(1,2)\displaystyle\AA=(1,2), con lo que A\displaystyle A no es abierto, A′=[1,2]\displaystyle A^{\prime}=[1,2] y A¯=[1,2]\displaystyle\overline{A}=[1,2], luego tampoco es cerrado.

Ejemplo.

Consideramos A={1n∣n∈ℕ}\displaystyle A=\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\}. Dado cualquier punto, ningún entorno suyo estará completamente contenido en A\displaystyle A. Luego Å=∅\displaystyle\AA=\varnothing. Como 1n\displaystyle\frac{1}{n} tiende hacia cero, A′={0}\displaystyle A^{\prime}=\{0\}. Por la misma razon, A¯=A∪{0}\displaystyle\overline{A}=A\cup\{0\}.