7 Mas sobre grupos

7.1 Centro, centralizador y normalizador

Definición 7.1 (Centro de un grupo).

Sea $\displaystyle G$ un grupo. Se define el centro de $\displaystyle G$ como el conjunto

\displaystyle Z(G)\coloneqq\{x\in G\mid\forall g\in G\;gx=xg\}

Proposición 7.1.

$\displaystyle Z(G)$ es subgrupo normal de $\displaystyle G$ .
$\displaystyle G$ es abeliano si y solo si $\displaystyle G=Z(G)$ .

Demostración.

Veremos dentro de un rato que $\displaystyle Z(G)=Ker(\hat{\varphi})$ donde $\displaystyle\hat{\varphi}$ es un homomorfismo de grupos, y por tanto $\displaystyle Z(G)\leq G$ .
Trivial.

∎

Ejemplo.

1.

$\displaystyle G=S_{3}=\{id,(123),(132),(13),(23),(12)\}$ . $\displaystyle\sigma=(1)2)\in Z(G)$ ? $\displaystyle(12)(13)=(132)$ , $\displaystyle(13)(12)=(123)$ . Luego $\displaystyle(12)\notin Z(G)$ . Analogamente, $\displaystyle(13)\notin Z(G)$ . $\displaystyle\mu=(123)\in Z(G)$ ? $\displaystyle(123)(12)=(123)$ , $\displaystyle(12)(123)=(23)\Rightarrow\mu\notin Z(G)$ . De modo analogo, $\displaystyle(132)\notin Z(G)$ (es su cuadrado). Luego, en este ejemplo, $\displaystyle Z(G)=\{id\}$ .
2.

$\displaystyle G=D_{4}=\{id,(1234),(13)(24),(1432),(24),(12)(34),(13),(14)(23)\}$ . $\displaystyle\sigma=(1234)\in Z(G)$ ? $\displaystyle(1234)(24)=(12)(34)$ , $\displaystyle(24)(1234)=(14)(23)$ . Como son distintos, $\displaystyle\sigma\notin Z(G)$ . De la misma manera $\displaystyle(1432)\notin Z(G)$ . $\displaystyle\sigma^{2}=(13)(24)\in Z(G)$ ? $\displaystyle(13)(24)(12)(34)=(14)(32)$ , $\displaystyle(12)(34)(13)(24)=(14)(32)\Rightarrow$ conmutan. Probamos con $\displaystyle(14)(23)\Rightarrow(13)(24)(14)(23)=(12)(34)$ , $\displaystyle(14)(23)(13)(24)=(12)(34)$ . Ademas, conmuta con $\displaystyle\sigma^{n}$ por ser potencias y con $\displaystyle\tau_{1}$ porque se tachan los $\displaystyle(24)$ . $\displaystyle\tau_{2}=(12)(34)\in Z(G)$ ? $\displaystyle(12)(34)(24)=(1234)$ y $\displaystyle(24)(12)(34)=(1432)$ . Luego $\displaystyle\tau_{2}\notin Z(G)$ . Por el teorema de Lagrange, $\displaystyle Z(G)$ no puede tener 3 elementos. Descartamos $\displaystyle\tau_{4}$ . Por tanto, $\displaystyle Z(G)=\{id,(13)(24)\}$ .
3.

$\displaystyle G=\{A\in\mathcal{{M}}_{2}(\mathbb{R})\mid|A|\neq 0\}$ . $\displaystyle AB=BA\quad\forall B\Rightarrow A=\begin{pmatrix}\lambda&0\\ 0&\lambda\\ \end{pmatrix}\;\lambda\neq 0$ . Para $\displaystyle n$ , $\displaystyle GL_{n}=\{A\in\mathcal{{M}}_{n}(\mathbb{R})\mid|A|\neq 0\}$ . Se tiene que $\displaystyle Z(GL_{n})=\{\lambda I_{n}\mid\lambda\neq 0\}$ .

Definición 7.2 (Centralizador de un conjunto en un grupo).

Sean $\displaystyle G$ un grupo y $\displaystyle H$ un subgrupo de G. Se define el centralizador de $\displaystyle H$ en $\displaystyle G$ como el conjunto

\displaystyle C_{G}(H)\coloneqq\{x\in G\mid\forall h\in H\quad xh=hx\}=\{x\in G% \mid\forall h\in H\quad xhx^{-1}=h\}

Definición 7.3 (Normalizador de un conjunto en un grupo).

Sean $\displaystyle G$ un grupo y $\displaystyle H$ un subgrupo de $\displaystyle G$ . Se define el normalizador de $\displaystyle H$ en $\displaystyle G$ como el conjunto

\displaystyle N_{G}(H)\coloneqq\{x\in G\mid xH=Hx\}=\{x\in G\mid xHx^{-1}=H\}

7.2 Acciones de grupos

Definición 7.4 (Accion de un grupo sobre un conjunto).

Sean $\displaystyle G$ un grupo y $\displaystyle X$ un conjunto no vacio. Una accion (por la izquierda) de $\displaystyle G$ sobre $\displaystyle X$ es una aplicacion

	$\displaystyle\phi\colon G\times X$	$\displaystyle\longrightarrow X$
	$\displaystyle(g,x)$	$\displaystyle\longmapsto\phi(g,x)=g\cdot x$

que cumple:

1.

Si $\displaystyle e$ es el neutro de $\displaystyle G,$ entonces $\displaystyle g\cdot x=x$
2.

$\displaystyle g_{1}\cdot(g_{2}\cdot x)=(g_{1}g_{2})\cdot x\quad\forall g_{1},g% _{2}\in G,\;\forall x\in X$ .

Usamos la notacion $\displaystyle\cdot$ para la accion. Si queremos denotar que estamos operando dos elementos del grupo ponemos uno a continuacion del otro, sin nada en medio.

Proposición 7.2.

Dada una accion $\displaystyle\varphi\colon G\times X\to X$ , podemos definir un homomorfismo asociado

	$\displaystyle\hat{\phi}\colon G$	$\displaystyle\longrightarrow S(X)=\{\sigma\colon X\to X\mid\sigma\text{ % biyectiva}\}$
	$\displaystyle g$	$\displaystyle\longmapsto\phi_{g}$

con

	$\displaystyle\phi_{g}\colon X$	$\displaystyle\longrightarrow X$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\longmapsto\phi_{g}(x)=g\cdot x$

Demostración.

Veamos que $\displaystyle\hat{\phi}$ esta bien definida y que es homomorfismo de grupos:

Bien definida: $\displaystyle\phi_{g}\colon X\to X$ es una biyeccion de $\displaystyle X$ ?
- •
  
  Inyectiva: si $\displaystyle g\cdot x_{1}=g\cdot x_{2}$ entonces $\displaystyle g^{-1}(g\cdot x_{1})=g^{-1}(g\cdot x_{2})\overset{2)}{% \Rightarrow}(g^{-1}\cdot g)\cdot x_{1}=(g^{-1}\cdot g)\cdot x_{2}\overset{1)}{% \Rightarrow}e\cdot x_{1}=e\cdot x_{2}\Rightarrow x_{1}=x_{2}$ .
- •
  
  Suprayectiva: si $\displaystyle y\in X$ , $\displaystyle\exists x\in X$ tal que $\displaystyle g\cdot x=y\Rightarrow x=g^{-1}y$ ?
  
  $\displaystyle y=g\cdot\underbrace{(g^{-1}\cdot y)}_{\in X}=\phi_{g}(g^{-1}% \cdot y)=y$
Homomorfismo: $\displaystyle g_{1},g_{2}\in G$
- •
  
  $\displaystyle\hat{\phi}(g_{1}\cdot g_{2})=\begin{aligned} \phi_{g_{1}\cdot g_{% 2}}\colon X&\to X\\ x_{2}&\mapsto(g_{1}g_{2})\cdot x\end{aligned}$
- •
  
  $\displaystyle\begin{aligned} \hat{\phi}(g_{1})\cdot\hat{\phi}(g_{2})\colon X&% \to X\\ x&\mapsto g_{1}(g_{2}x)\end{aligned}$ (composicion)

∎

Definición 7.5.

Una accion es fiel si $\displaystyle Ker\hat{\phi}=\{e\}$ .

Ejemplo.

Si $\displaystyle\sigma$ es un grupo y $\displaystyle x=\sigma$ , podemos definir

	$\displaystyle\varphi\colon X$	$\displaystyle\longrightarrow X$
	$\displaystyle(g,x)$	$\displaystyle\longmapsto g\cdot x=gxg^{-1}$

Es accion?

$\displaystyle e\cdot x=exe^{-1}=x\quad\forall x\in X=G$
$\displaystyle g_{1}\cdot(g_{2}\cdot x)=g_{1}\cdot(g_{2}xg^{-1}_{2})=g_{1}(g_{2% }xg^{-1}_{2})g^{-1}_{1}=(g_{1}g_{2})x(g_{1}g_{2})^{-1}=(g_{1}g_{2})\cdot x$

Si es una accion. Veamos su homomorfismo asociado.

	$\displaystyle\hat{\varphi}\colon G$	$\displaystyle\longrightarrow Biy(x)$
	$\displaystyle g$	$\displaystyle\longmapsto\hat{\varphi}(g)=\varphi_{g}\colon X\to X,x\mapsto gxg% ^{-1}$

$\displaystyle Ker\hat{\varphi}=\{g\in G\mid\varphi_{g}=id\}=\{y\in G\mid gxg^{% -1}=x\;\forall x\in X=G\}=\{g\in G\mid gx=xg\;\forall x\in G\}=Z(G)$ y $\displaystyle Ker\hat{\varphi}\trianglelefteq G\Rightarrow Z(G)\trianglelefteq G$ (resultado que faltaba por probar).

$\displaystyle G$ grupo, $\displaystyle X=\{H\text{ tal que }H\leq G\}$ .

	$\displaystyle\varphi\colon G\times X$	$\displaystyle\longrightarrow X$
	$\displaystyle(g,H)$	$\displaystyle\longmapsto\varphi((g,H))=gHg^{-1}$

Bien definida? $\displaystyle gHg^{-1}$ es subgrupo de $\displaystyle G$ ? Cerrado para el producto: sean $\displaystyle gh_{1}g^{-1}$ , $\displaystyle gh_{2}g^{-1}\in K\Rightarrow(gh_{1}g^{-1})(gh_{2}g^{-1})=gh_{1}h% _{2}g^{-1}\in K$ . Contiene inversos: $\displaystyle ghg^{-1}\in K$ , $\displaystyle(ghg^{-1})^{-1}=gh^{-1}g^{-1}\in K$ .

Veamos que es accion (accion por conjugacion sobre el conjunto de los subgrupos):

a)

$\displaystyle e\cdot H=eHe^{-1}=H\;\forall H\in X$
b)

$\displaystyle g_{1}\cdot(g_{2}\cdot H)=g_{1}(g_{2}Hg^{-1}_{2})g^{-1}_{1}=g_{1}% g_{2}H(g_{1}g_{2})^{-1}$ .

Defino

	$\displaystyle\hat{\varphi}\colon G$	$\displaystyle\longrightarrow Biy(X)$
	$\displaystyle g$	$\displaystyle\longmapsto\varphi_{g}\colon X\to X,H\mapsto gHg^{-1}$

$\displaystyle Ker\hat{\varphi}=\{g\in G\mid\varphi_{g}=id\}=\{g\in G\mid gHg^{% -1}=H\quad\forall H\in X\}=\{g\in G\mid gH=Hg\quad\forall H\in X\}=\bigcap_{H% \in X}N(H)$

3.
Sea $\displaystyle G$ un grupo y $\displaystyle X=G$ .
- Accion por traslacion a la izquierda.
  
  $\displaystyle\varphi\colon G\times X$ $\displaystyle\longrightarrow X$
  
  $\displaystyle(g,x)$ $\displaystyle\longmapsto\varphi(g,x)=gx$
  
  Ver que es accion y comprobar que es fiel.
- Accion por traslacion a la derecha.
  
  $\displaystyle\varphi\colon G\times X$ $\displaystyle\longrightarrow X$
  
  $\displaystyle(g,x)$ $\displaystyle\longmapsto\varphi((g,x))=xg^{-1}$
  
  Ver que es accion y comprobar que es fiel.

Definición 7.6.

Si $\displaystyle\varphi\colon G\times X\to X$ es una accion en $\displaystyle X$ podemos definir la siguiente relacion:

\displaystyle x\equiv_{\varphi}y\Leftrightarrow\exists g\in G\text{ tal que }% \varphi(g,x)=y

Proposición 7.3.

La relacion $\displaystyle\equiv_{\varphi}$ es una relacion de equivalencia en $\displaystyle X$ .

Demostración.

Veamos que cumple las propiedades de relacion de equivalencia:

1.

Reflexiva: $\displaystyle x\equiv_{\varphi}x$ porque $\displaystyle e\cdot x=x$
2.

Simetrica: si $\displaystyle x\equiv_{\varphi}y$ , $\displaystyle\exists g\in G$ con $\displaystyle g\cdot x=y$ , es decir, $\displaystyle\varphi_{g}(x)=y$ . Como $\displaystyle\varphi_{g}$ es biyectiva, $\displaystyle g^{-1}\cdot y=x\Rightarrow y\equiv_{\varphi}x$ .
3.

Transitiva: si $\displaystyle x\equiv_{\varphi}y$ , $\displaystyle y\equiv_{\varphi}z\Rightarrow\exists g_{1}\in G\mid g_{1}\cdot x=y$ , $\displaystyle\exists g_{2}\in G\mid g_{2}\cdot y=z\;(y=g^{-1}_{2}\cdot z)% \Rightarrow g_{1}\cdot x=g^{-1}_{2}\cdot z\Rightarrow g_{2}\cdot g_{1}\cdot x=% g_{2}\cdot g^{-1}_{2}\cdot z\Rightarrow g_{2}g_{1}\cdot x=z\Rightarrow x\equiv% _{\varphi}z$ .

∎

Definición 7.7.

Dado $\displaystyle x\in X$ , se llama orbita de $\displaystyle x$ bajo la accion de $\displaystyle\varphi$ al conjunto:

\displaystyle orb(x)\coloneqq\{y\in X\mid x\equiv_{\varphi}y\}=\{y\in X\mid% \exists g\in G\text{ tal que }g\cdot x=y\}.

Notese que las orbitas son las clases de equivalencia de la relacion $\displaystyle\equiv_{\varphi}$ y forman, por tanto, una particion de $\displaystyle X$ .

Definición 7.8.

Una accion es transitiva si solo hay una orbita

\displaystyle orb(X)=X\text{, es decir, }\forall x,y\in X\quad\exists g\in G% \text{ tal que }g\cdot x=y

Definición 7.9.

Sean $\displaystyle x\in B$ y $\displaystyle\varphi$ una accion. Se define el estabilizador de $\displaystyle x$ como el conjunto

\displaystyle S_{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}

Una notacion alternativa para el estabilizador es $\displaystyle Stab_{G}(x)$ . Notese que el estabilizador de $\displaystyle x$ esta formado por los elementos de $\displaystyle G$ que dejan fijo $\displaystyle x$ cuando actuan sobre el.

Proposición 7.4.

$\displaystyle\forall x\in B$ , $\displaystyle S_{x}$ es un subgrupo de $\displaystyle G$ .

Demostración.

Veamos que $\displaystyle S_{x}\leq G$ .

Si $\displaystyle g_{1},g_{2}\in Stab_{G}(x)$ , $\displaystyle g_{1}g_{2}\in Stab_{G}(x)$ ?

$\displaystyle(g_{1}g_{2})\cdot x\overset{2)}{=}g_{1}\cdot(g_{2}\cdot x)% \overset{g_{2}\in S(x)}{=}g_{1}\cdot x\overset{g_{1}\in S(x)}{=}x\Rightarrow g% _{1}g_{2}\in Stab_{G}(x)$
Si $\displaystyle g\in Stab_{G}(x)$ , $\displaystyle g^{-1}\in Stab_{G}(x)$ ?

$\displaystyle g^{-1}\cdot x\overset{g\cdot x=x}{=}g^{-1}\cdot(g\cdot x)% \overset{2)}{=}\underbrace{(g^{-1}g)}_{e}\cdot x\overset{1)}{=}x\text{, es % decir, }g^{-1}\in Stab_{G}(x)$

∎

Sea

	$\displaystyle\hat{\varphi}\colon G$	$\displaystyle\longrightarrow Biy(x)$
	$\displaystyle g$	$\displaystyle\longmapsto\hat{\varphi}(g)=\varphi_{g}$

Vamos a calcular $\displaystyle Ker\hat{\varphi}$ :

\displaystyle Ker\hat{\varphi}=\{g\in G\mid\varphi_{g}=id\}=\{g\in G\mid g% \cdot x=x\quad\forall x\in X\}=\bigcap_{x\in X}Stab_{G}(x)

Ejemplo.

Si $\displaystyle\varphi$ es la accion por conjugacion $\displaystyle X=G$

	$\displaystyle\varphi\colon G\times X$	$\displaystyle\longrightarrow X$
	$\displaystyle(g,x)$	$\displaystyle\longmapsto\varphi((g,x))=gxg^{-1}$

Para $\displaystyle x\in X=G,$ $\displaystyle Stab_{G}(x)=\{g\in G\mid g\times x=x\}=\{g\in G\mid gxg^{-1}=x\}% =\{g\in G\mid gx=xg\}=C_{G}(\{x\})\leq G.$ Como consecuencia de esto, hemos obtenido que el centralizador es un subgrupo.

\displaystyle Ker\hat{\varphi}=\bigcap_{x\in X}Stab_{G}(x)=\bigcap_{x\in X}C_{% G}(\{x\})=\{g\in G\mid gx=xg\quad\forall x\in X\}=Z(G)

Teorema 7.1 (de la orbita).

Sea $\displaystyle\varphi$ una accion de un grupo $\displaystyle G$ sobre un conjunto $\displaystyle X$ . Consideramos $\displaystyle H=Stab_{G}(x)\leq G$ . Consideramos $\displaystyle\{g\cdot Stab_{G}(x)\mid g\in G\}$ (conjunto de clases a la izquierda respecto de la relacion ser congruente a izquierda modulo H). Podemos definir una biyeccion entre $\displaystyle\{gStab_{G}(x)\mid g\in G\}$ y $\displaystyle orb(x)$ dada por

	$\displaystyle f\colon\{gStab_{G}(x)\mid g\in G\}$	$\displaystyle\longrightarrow orb(x)$
	$\displaystyle gStab_{G}(x)$	$\displaystyle\longmapsto g\cdot x$

En particular $\displaystyle[G:Stab_{G}(x)]=|orb(x)|$ .

Demostración.

Vamos a ver que $\displaystyle f$ es una biyeccion. En primer lugar, veamos que esta bien definida: si $\displaystyle g_{1}Stab_{G}(x)=g_{2}Stab_{G}(x)$ , entonces $\displaystyle g^{-1}_{1}g_{2}\in Stab_{G}(x)\Rightarrow(g^{-1}_{1}g_{2})\cdot x% =x\Rightarrow g_{1}\cdot((g^{-1}_{1}g_{2})\cdot x)=g_{1}\cdot x\Rightarrow(g_{% 1}g^{-1}_{1}g_{2})\cdot x=g_{1}\cdot x\Rightarrow g_{2}\cdot x=g_{1}\cdot x$ . Por lo tanto, $\displaystyle f(g_{1}Stab_{G}(x))=f(g_{2}Stab_{G}(x))$ . Veamos que es inyectiva. Si $\displaystyle f(g_{1}Stab_{G}(x))=f(g_{2}Stab_{G}(x))\Rightarrow g_{1}\cdot x=% g_{2}\cdot x\Rightarrow g^{-1}_{1}\cdot(g_{2}\cdot x)=g^{-1}_{1}\cdot(g_{2}% \cdot x)\Rightarrow(g^{-1}_{1}g_{1})\cdot x=(g^{-1}_{1}g_{2})\cdot x% \Rightarrow x=(g^{-1}_{1}g_{2})\cdot x$ . Luego $\displaystyle g^{-1}_{1}g_{2}\in Stab_{G}(x)\Rightarrow g_{1}\equiv_{i}g_{2}% \allowbreak\mkern 18.0mu({\operator@font m\acute{o}d}\,\,{Stab_{G}(x)}% \Rightarrow g_{1})Stab_{G}(x)=g_{2}Stab_{G}(x)$ . Nos falta ver que es suprayectiva. Sea $\displaystyle y\in orb(x)$ , es decir, $\displaystyle\exists g\in G$ tal que $\displaystyle g\cdot x=y$ . Entonces $\displaystyle f(gStab_{G}(x))=y$ porque, por definicion, $\displaystyle g\cdot x=y$ . Por tanto, $\displaystyle[G:Stab_{G}(x)]=|orb(x)|$ . ∎

Observación.

En el caso de que $\displaystyle G$ sea un grupo finito, el teorema anterior nos da la relacion:

\displaystyle|orb(x)|=\frac{|G|}{|S_{x}|}

por el teorema de Lagrange.

7.3 Clasificacion de grupos

Definición 7.10 (Conjunto generador).

Sean $\displaystyle G$ un grupo y $\displaystyle\varnothing\neq S\subseteq G$ . Decimos que $\displaystyle S$ es un conjunto generador de $\displaystyle G$ si todo elemento de $\displaystyle G$ se puede escribir como producto finito (que puede ser de un solo factor) de elementos de $\displaystyle S$ y de inversos de elementos de $\displaystyle S$ .

Definición 7.11 (Grupo finitamente generado).

Decimos que un grupo $\displaystyle G$ es finitamente generado si existe un conjunto $\displaystyle S$ finito y generador de $\displaystyle G$ .

Observación.

Si $\displaystyle G$ es finito, es obvio que $\displaystyle G$ es finitamente generado y se puede tomar como conjunto generador al propio $\displaystyle G$ .

Observación.

Si $\displaystyle G$ es ciclico y $\displaystyle G=\langle a\rangle$ , $\displaystyle S=\{a\}$ es el conjunto generador de $\displaystyle G$ .
$\displaystyle D_{n}$ tiene como conjunto generador $\displaystyle\{\sigma,\tau\}$ donde $\displaystyle\sigma$ es el giro de angulo $\displaystyle 2\pi/n$ en sentido positivo y $\displaystyle\tau$ es una simetria cualquiera.
$\displaystyle S_{n}$ esta generado por el conjunto de las trasposiciones: $\displaystyle S=\{(ab)\mid a,b\in\{1,\ldots,n\}\}$ es un conjunto generador de $\displaystyle S_{n}$ porque todo $\displaystyle\sigma\in S_{n}$ se escribe como producto de trasposiciones.
Si $\displaystyle G=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times\cdots\times Z=\mathbb{Z}^{m}$ , $\displaystyle S=\{(1,0,\ldots,0),(0,1,\ldots,0),\ldots,(0,0,\ldots,0,1)\}$ es un conjunto generador de $\displaystyle\mathbb{Z}^{m}$ .

Los dos siguientes teoremas proporcionan una clasificacion de los grupos abelianos finitamente generados. Ambas clasificaciones son equivalentes, simplemente cambia la presentacion de los grupos.

Teorema 7.2 (Descomposicion en factores invariantes).

Sea $\displaystyle G$ un grupo abeliano finitamente generado con $\displaystyle|G|\geq 2$ . Entonces existen $\displaystyle m\text{ (rango de la parte libre)},k_{1},\ldots,k_{n}\in\mathbb{% N}\cup\{0\}\text{ (factores invariantes de }G\text{)}$ tales que

$\displaystyle\forall j\in\{1,\ldots,n\}\quad k_{j}\geq 2$
$\displaystyle\forall j\in\{1,\ldots,n-1\}\quad k_{j}|k_{j+1}$
$\displaystyle G\cong\underbrace{\mathbb{Z}^{m}}_{\begin{subarray}{c}\text{% parte}\\ \text{libre}\end{subarray}}\times\underbrace{\mathbb{Z}_{k_{1}}\times\mathbb{Z% }_{k_{2}}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{k_{n}}}_{\text{ parte de torsion}}$

donde

$\displaystyle\mathbb{Z}^{0}$ se interpreta como que no aparece este factor.
Se incluye el caso en el que solo aparece un factor de tipo $\displaystyle\mathbb{Z}^{m}$ .

Ademas los numeros $\displaystyle m,k_{1},k_{2},\ldots,k_{n}$ son unicos cumpliendo estas condiciones.

Ejemplo.

Descomposicion de todos los grupos abelianos de orden $\displaystyle 36$ . $\displaystyle m=0$ porque son grupos finitos. Posibilidades para los factores invariantes:
- •
  
  $\displaystyle k=36\rightarrow G\cong\mathbb{Z}_{36}$ .
- •
  
  $\displaystyle k_{1}=2,k_{2}=18\rightarrow G\cong\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}% _{18}$
- •
  
  $\displaystyle k_{1}=3,k_{2}=12\rightarrow G\cong\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}% _{12}$
- •
  
  $\displaystyle k_{1}=6,k_{2}=6\rightarrow G\cong\mathbb{Z}_{6}\times\mathbb{Z}_% {6}$
Estos son los 4 grupos (salvo isomorfismo) que podemos tener con las condiciones de ser abeliano y tener orden $\displaystyle 36$ .

Teorema 7.3 (Descomposicion en factores primarios).

Sea $\displaystyle G$ un grupo abeliano finitamente generado con $\displaystyle|G|\geq 2$ . Entonces existen $\displaystyle m\text{ (rango de la parte libre)},q_{1},q_{2},\ldots,q_{t}\in% \mathbb{N}\cup\{0\}$ tales que

$\displaystyle\forall j\in\{1,\ldots,t\}\quad q_{j}\text{ es una potencia de un% numero primo}$ (se llaman divisores elementales o factores primarios).
$\displaystyle G\cong\underbrace{\mathbb{Z}^{m}}_{\begin{subarray}{c}\text{% parte}\\ \text{libre}\end{subarray}}\times\underbrace{\mathbb{Z}_{k_{1}}\times\mathbb{Z% }_{k_{2}}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{k_{n}}}_{\text{ parte de torsion}}$

donde Ademas los numeros $\displaystyle m,q_{1},\ldots,q_{t}$ son unicos cumpliendo estas condiciones (salvo el orden de los $\displaystyle q_{j}$ ).

Ejemplo.

Descomposicion de todos los grupos abelianos de orden 36 (en funcion de sus divisores elementales). Posibilidades para los divisores elementales:

$\displaystyle 2^{2}$ , $\displaystyle 3^{2}\rightarrow G\cong\mathbb{Z}_{2^{2}}\times\mathbb{Z}_{3^{2}% }\cong\mathbb{Z}_{36}$
$\displaystyle 2,2,3^{2}\rightarrow G\cong\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}% \times\mathbb{Z}_{3^{2}}\cong\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{18}$
$\displaystyle 2,2,3,3,\rightarrow G\cong\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}% \times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3}\cong\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{2}$
$\displaystyle 2^{2},3,3\rightarrow G\cong\mathbb{Z}_{2^{2}}\times\mathbb{Z}_{3% }\times\mathbb{Z}_{3}\cong\mathbb{Z}_{6}\times\mathbb{Z}_{6}$

Vamos a ver cuales son todos los grupos de orden menor o igual que 8. Para ello, introduciremos un grupo de orden 8 que aun no conocemos.

Definición 7.12.

Consideremos el conjunto $\displaystyle Q_{8}=\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}$ donde

$\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1$ .
$\displaystyle ij=k$ , $\displaystyle jk=i$ , $\displaystyle ki=j$ .

$\displaystyle Q_{8}$ es un grupo llamado grupo de los cuaternios (o cuaterniones). Ademas, $\displaystyle Q_{8}$ no es abeliano y $\displaystyle Z(Q_{8})=\{1,-1\}$ .

A continuacion se enumeran todos los grupos (salvo isomorfismo) de un orden dado. En la primera linea aparecen los abelianos y en la segunda, si hay, los no abelianos:

Orden	Grupos
1	$\displaystyle\{e\}$
2	$\displaystyle\mathbb{Z}_{2}$
3	$\displaystyle\mathbb{Z}_{3}$
4	$\displaystyle\mathbb{Z}_{4},\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}$
5	$\displaystyle\mathbb{Z}_{5}$
6	$\displaystyle\begin{subarray}{c}\mathbb{Z}_{6}\\ S_{3}\end{subarray}$
7	$\displaystyle\mathbb{Z}_{7}$
8	$\displaystyle\begin{subarray}{c}\mathbb{Z}_{8},\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_% {4},\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\\ D_{4},Q_{8}\end{subarray}$

Cuadro 1: Grupos de orden menor o igual que 8.