1 Conjuntos

Definición 1.1.

Un conjunto es una coleccion de objetos, que se denominan elementos de ese conjunto.

Si $\displaystyle A$ es un conjunto y $\displaystyle b$ es un elemento de $\displaystyle A$ decimos que $\displaystyle b$ pertenece a $\displaystyle A$ . Notacion: $\displaystyle b\in A$ .

En caso contrario, decimos que $\displaystyle b$ no pertenece a $\displaystyle A$ . Notacion: $\displaystyle b\notin A$ .

Una forma de expresar conjuntos es enumerar sus elementos:

Ejemplo.

$\displaystyle A=\{1,3,5,7\}$

Definición 1.2 (Subconjunto).

Sean $\displaystyle A$ y $\displaystyle B$ dos conjuntos. Se dice que $\displaystyle A$ es un subconjunto de $\displaystyle B$ si todo elemento de $\displaystyle A$ es tambien elemento de $\displaystyle B$ .

Tambien se dice que $\displaystyle A$ esta contenido en $\displaystyle B$ . Notacion: $\displaystyle A\subseteq B$ .

En caso contrario diremos que $\displaystyle A$ no esta contenido en B.

Notacion: $\displaystyle A\not\subseteq B$ .

Definición 1.3.

Sean $\displaystyle A$ y $\displaystyle B$ dos conjuntos. Decimos que $\displaystyle A$ y $\displaystyle B$ son iguales si tienen los mismos elementos. Esto es lo mismo que decir que $\displaystyle A\subseteq B$ y $\displaystyle B\subseteq A$ .

Notacion: $\displaystyle A=B$ .

En caso contrario, diremos que $\displaystyle A$ y $\displaystyle B$ son distintos.

Notacion: $\displaystyle A\neq B$ .

Observación.

En un conjunto no se tienen en cuenta elementos repetidos.

Tampoco se tiene en cuenta el orden.

Definición 1.4 (Contenido estricto).

Decimos que A esta estrictamente contenido en $\displaystyle B$ si $\displaystyle A\subseteq B$ y $\displaystyle A\neq B$ . Notacion: $\displaystyle A\subset B$ .

La segunda forma de expresar conjuntos consiste en indicar una propiedad.

Ejemplo.

\displaystyle A=\{x\mid x\text{ es un numero primo menor que 15}\}

\displaystyle A=\{2,3,5,7,11,13\}

\displaystyle B=\{x\mid x\text{ es un numero primo mayor que 15}\}

\displaystyle B=\{17,19,23,29,31,37,41,43,\ldots\}

Definición 1.5 (Conjuntos numericos, informal).

Numeros naturales:
$\displaystyle\mathbb{N}\coloneqq\{1,2,3,4,5,\ldots\}$ . No tiene solucion $\displaystyle 2-x=5$ .
Numeros enteros:
$\displaystyle\mathbb{Z}\coloneqq\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$ . No tiene solucion $\displaystyle 2x=5$ .
Numeros racionales:
$\displaystyle\mathbb{Q}\coloneqq\left\{\frac{a}{b}\mid a,b\in\mathbb{Z},b\neq 0\right\}$ . Tienen expresion decimal periodica. No tiene solucion $\displaystyle x^{2}=2$ .
Numeros reales:
$\displaystyle\mathbb{R}$ . Tienen expresion decimal arbitraria, periodica o no periodica. No tiene solucion $\displaystyle x^{2}=-1$ .
Numeros complejos:
$\displaystyle i\coloneqq\sqrt{-1}$ la unidad imaginaria.

$\displaystyle\mathbb{C}\coloneqq\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{R}\}$

Definición 1.6.

Se define el conjunto vacio como un conjunto sin elementos.

Notacion: $\displaystyle\varnothing$

Proposición 1.1.

Sea $\displaystyle A$ un conjunto cualquiera. Se cumple que $\displaystyle\varnothing\subseteq A$ .

Demostración.

Lo demostraremos por reduccion al absurdo.

Supongamos que $\displaystyle\varnothing\not\subseteq A$ . Entonces, existe un elemento $\displaystyle x$ tal que $\displaystyle x\in\varnothing$ y $\displaystyle x\notin A$ .

Esto es una contradiccion, ya que el conjunto $\displaystyle\varnothing$ no tiene elementos.

Luego es falso que $\displaystyle\varnothing\not\subseteq A$ y por tanto $\displaystyle\varnothing\subseteq A$ . ∎

Definición 1.7 (Operaciones con conjuntos).

Sean $\displaystyle A$ y $\displaystyle B$ dos conjuntos. Se definen:

Interseccion de $\displaystyle A$ y $\displaystyle B$ :
$\displaystyle A\cap B\coloneqq\{x\mid x\in A\text{ y }x\in B\}$
Union de $\displaystyle A$ y $\displaystyle B$ :
$\displaystyle A\cup B\coloneqq\{x\mid x\in A\text{ o }x\in B\}$
Diferencia entre $\displaystyle A$ y $\displaystyle B$ (o $\displaystyle A$ menos $\displaystyle B$ ):

$\displaystyle A\setminus B\coloneqq\{x\mid x\in A\text{ y }x\notin B\}$

Definición 1.8.

Decimos que un conjunto $\displaystyle A$ es finito si tiene tantos elementos como un numero natural o bien si no tiene elementos ( $\displaystyle\varnothing$ ).

En caso contrario decimos que $\displaystyle A$ es infinito.

Definición 1.9.

Si $\displaystyle A$ es un conjunto finito, se define el cardinal de $\displaystyle A$ como su numero de elementos. El cardinal de $\displaystyle\varnothing$ es 0. Si $\displaystyle A$ es un conjunto infinito tiene cardinal infinito.

Notacion: $\displaystyle|A|$

Definición 1.10 (Partes de un conjunto).

Sea $\displaystyle A$ un conjunto. Se define el conjunto de las partes de $\displaystyle A$ como el conjunto formado por todos los subconjuntos de $\displaystyle A$ . Simbolicamente:

\displaystyle\mathcal{{P}}(A)=\{B\mid B\subseteq A\}

Ejemplo.

Sean $\displaystyle A=\{1,2\}$ , $\displaystyle B=\{1,2,3\}$ , $\displaystyle C=\{1,2,3,4\}$ . Escribir los conjuntos $\displaystyle\mathcal{{P}}(A),\mathcal{{P}}(B),\mathcal{{P}}(C),\mathcal{{P}}(% \mathcal{{P}}(A))$ .

Subconjuntos de $\displaystyle A$ : $\displaystyle\{1\},\{2\},\{1,2\},\varnothing$ .

Luego $\displaystyle\mathcal{{P}}(A)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$
Subconjuntos de $\displaystyle B$ : $\displaystyle\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\},\varnothing$ .

Luego $\displaystyle\mathcal{{P}}(B)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},% \{2,3\},\{1,2,3\}\}$

Teorema 1.1.

Sea $\displaystyle A$ un conjunto finito. Entonces se cumple que

\displaystyle|\mathcal{{P}}(A)|=2^{|A|}

Demostración.

Considero el conjunto $\displaystyle A$ formado por $\displaystyle n$ elementos donde $\displaystyle n\in\mathbb{N}$ .

Sin perdida de generalidad, supongo que $\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,n\}$ . Para contar subconjuntos de $\displaystyle A$ , planteo el cuestionario

1.

¿Está 1 en el subconjunto?
2.

¿Está 2 en el subconjunto?
n.

¿Está $\displaystyle n$ en el subconjunto?

Hay el mismo numero de subconjuntos de $\displaystyle A$ que de respuestas al cuestionario. Como el cuestionario tiene $\displaystyle n$ preguntas y cada una 2 respuestas posibles, hay $\displaystyle 2^{n}$ respuestas diferentes al cuestionario y, por tanto, $\displaystyle 2^{n}$ subconjuntos de $\displaystyle A$ .

Falta probarlo para $\displaystyle A=\varnothing$ . Se cumple que $\displaystyle\varnothing\subseteq\varnothing$ y es el unico posible.

Luego $\displaystyle\mathcal{{P}}(\varnothing)=\{\varnothing\}$

Tenemos que $\displaystyle|A|=0$ y $\displaystyle|\mathcal{{P}}(A)|=1$ . Ademas, $\displaystyle 2^{|A|}=2^{0}=1=|\mathcal{{P}}(A)|$ ∎

Demostración.

Tambien lo demostraremos por induccion sobre $\displaystyle n$ , el numero de elementos de $\displaystyle A$ .

El caso $\displaystyle n=0$ esta hecho en la demostracion anterior.

En el caso base, $\displaystyle n=1$ , $\displaystyle A=\{1\}$ y $\displaystyle\mathcal{{P}}(A)=\{\varnothing,\{1\}\}$ . Luego $\displaystyle|A|=1$ y $\displaystyle|\mathcal{{P}}(A)|=2=2^{1}=2^{|A|}$ . Se cumple para $\displaystyle n=1$ .

Hipotesis de induccion: Supongamos que el resultado es cierto para $\displaystyle n$ ( $\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,n\}$ y $\displaystyle|\mathcal{{P}}(A)|=2^{n}$ )

Tengo que demostrar, a partir de esto, la tesis de induccion:

Si $\displaystyle B=\{1,2,3,\ldots,n,n+1\}$ entonces $\displaystyle|\mathcal{{P}}(A)|=2^{n+1}$ .

Hay 2 tipos de subconjuntos de $\displaystyle B$ .

Tipo 1: Los que no tienen a $\displaystyle n+1$ como elemento. Por hipotesis de induccion hay $\displaystyle 2^{n}$ subconjuntos de $\displaystyle B$ de este tipo (son los mismos que los de $\displaystyle A$ ).
Tipo 2: Los que si tienen a $\displaystyle n+1$ como elemento. Cada uno de estos se obtiene añadiendo el elemento $\displaystyle n+1$ a un subconjunto de Tipo 1. Por tanto, hay tantos como habia de Tipo 1: $\displaystyle 2^{n}$ .

En total, $\displaystyle B$ tiene:

\displaystyle\underbrace{2^{n}}_{\text{Tipo 1}}+\underbrace{2^{n}}_{\text{Tipo% 2}}=2\cdot 2^{n}=2^{n+1}=|\mathcal{{P}}(B)|

Asi, queda demostrada la tesis de induccion. ∎

Definición 1.11 (Par ordenado).

Dados dos conjuntos $\displaystyle A$ y $\displaystyle B$ y dos elementos $\displaystyle a\in A$ y $\displaystyle b\in B$ , se define el par ordenado formado por $\displaystyle a$ y $\displaystyle b$ como la expresion simbolica

\displaystyle(a,b)

donde $\displaystyle a$ es el primer elemento del par y $\displaystyle b$ es el segundo elemento del par.

Definición 1.12 (Producto cartesiano).

Sean $\displaystyle A$ y $\displaystyle B$ dos conjuntos no vacios. Se define el producto cartesiano de $\displaystyle A$ por $\displaystyle B$ como el conjunto formado por todos los pares ordenados de la forma $\displaystyle(a,b)$ donde $\displaystyle a\in A$ y $\displaystyle b\in B$ . Simbolicamente:

\displaystyle A\times B\coloneqq\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}

Ejemplo.

$\displaystyle A=\{1,2,3\}$ , $\displaystyle B=\{2,4\}$

\displaystyle A\times B=\{(1,2),(1,4),(2,2),(2,4),(3,2),(3,4)\}

\displaystyle B\times A=\{(2,1),(2,2),(2,3),(4,1),(4,2),(4,3)\}

El producto cartesiano no es conmutativo.

Proposición 1.2.

Sean $\displaystyle A$ y $\displaystyle B$ dos conjuntos finitos y no vacios. Se cumple que

\displaystyle|A\times B|=|A|\cdot|B|

Demostración.

Para formar todos los pares ordenados posibles, tenemos $\displaystyle|A|$ opciones en la primera coordenada y $\displaystyle|B|$ en la segunda.

Por tanto, hay en total $\displaystyle|A|\cdot|B|$ pares ordenados.

Así, $\displaystyle|A\times B|=|A|\cdot|B|$ ∎

Observación.

Si $\displaystyle A$ o $\displaystyle B$ es infinito $\displaystyle\Rightarrow$ $\displaystyle|A\times B|=\infty$

Definición 1.13 (n-tupla ordenada).

Sea $\displaystyle n\in\mathbb{N}$ , $\displaystyle n\geq 2$ . Sean $\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$ conjuntos y $\displaystyle a_{1}\in A_{1}$ , $\displaystyle a_{2}\in A_{2}$ , $\displaystyle\ldots$ , $\displaystyle a_{n}\in A_{n}$ elementos de sus conjuntos. Se define la n-tupla ordenada formada por esos elementos como la expresion simbolica

\displaystyle(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})

Definición 1.14.

Sea $\displaystyle n\in\mathbb{N}$ , $\displaystyle n\geq 2$ . Sean $\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$ conjuntos no vacios. Se define el producto cartesiano de esos conjuntos como

\displaystyle A_{1}\times A_{2}\times\dots\times A_{n}\coloneqq\{(a_{1},a_{2},% \dots,a_{n})\mid a_{1}\in A_{1},a_{2}\in A_{2},\ldots,a_{n}\in A_{n}\}

Si hacemos el producto cartesiano de un conjunto no vacio $\displaystyle A$ por si mismo varias veces, usaremos

\displaystyle A^{n}\coloneqq A\times A\times\dots A\text{ (n veces)}