19 Introduccion intuitiva a la formalizacion

IDEA: Ampliar la logica proposicional para poder formalizar (y demostrar la correccion) de razonamientos del tipo:

“Socrates es humano. Todo humano es mortal. Por tanto, Socrates es mortal.”

Formalizacion con proposicional: p∧q→r\displaystyle p\wedge q\rightarrow r que no es un razonamiento correcto.

Con logica de predicados:

Dominio:

  •  
    ​

    D={humanos y dioses de la antiguedad griega}\displaystyle D=\{\text{humanos y dioses de la antiguedad griega}\}

Simbolos:

  •  
    ​

    s:\displaystyle s: Socrates (s es una constante).

  •  
    ​

    H⁢(x):\displaystyle H(x): x\displaystyle x es humano (H\displaystyle H es un simbolo de predicado de aridad 1).

  •  
    ​

    M⁢(x):\displaystyle M(x): x\displaystyle x es mortal (M\displaystyle M es un simbolo de predicado de aridad 1)

Formalizacion:

H⁢(s)∀x⁢(H⁢(x)→M⁢(x))M⁢(s)\displaystyle\begin{array}[]{l}H(s)\\\forall x(H(x)\to M(x))\\\hline\cr M(s)\end{array}
Ejemplo.

Vamos a formalizar las sigueintes frases con logica de predicados en el dominio formado por las personas.

Dominio: D={personas}\displaystyle D=\{\text{personas}\}

Simbolos:

  •  
    ​

    a\displaystyle a: Antonio (a\displaystyle a es una constante).

  •  
    ​

    b\displaystyle b: Barbara (b\displaystyle b es una constante).

  •  
    ​

    M⁢(x):x\displaystyle M(x):x es moreno (M\displaystyle M es un simbolo de predicado de aridad 1).

  •  
    ​

    R⁢(x):x\displaystyle R(x):x es rubio (R\displaystyle R es un simbolo de predicado de aridad 1).

Formalizaciones:

  •  
    ​

    M⁢(a)\displaystyle M(a): Antonio es moreno.

  •  
    ​

    R⁢(b)\displaystyle R(b): Barbara es rubia.

  •  
    ​

    ∀x⁢M⁢(x)\displaystyle\forall xM(x)

  •  
    ​

    ∃x⁢R⁢(x)\displaystyle\exists xR(x)

Simbolos:

  •  
    ​

    S⁢(x)\displaystyle S(x): x\displaystyle x es sevillano (S\displaystyle S es un simbolo de predicado de aridad 1).

  •  
    ​

    T⁢(x)\displaystyle T(x): x\displaystyle x es toledano (T\displaystyle T es un simbolo de predicado de aridad 1).

  •  
    ​

    m⁢(x)\displaystyle m(x): la madre de x\displaystyle x (m\displaystyle m es un simbolo de predicado de aridad 1).

Formalizaciones:

  •  
    ​

    Todos los sevillanos son morenos: ∀x⁢(S⁢(x)→M⁢(x))\displaystyle\forall x(S(x)\to M(x))

  •  
    ​

    Hay toledanos rubios: ∃x⁢(T⁢(x)∧R⁢(x))\displaystyle\exists x(T(x)\wedge R(x))

  •  
    ​

    La madre de Antonio es rubia: R⁢(m⁢(a))\displaystyle R(m(a))

  •  
    ​

    Barbara es la madre de Antonio: b=m⁢(a)\displaystyle b=m(a).

Simbolos:

  •  
    ​

    A⁢(x,y)\displaystyle A(x,y): x\displaystyle x es mas alto que y\displaystyle y (A\displaystyle A es un simbolo de pred. de aridad 2 )

Formalizaciones:

  •  
    ​

    Antonio es mas alto que Barbara: A⁢(a,b)\displaystyle A(a,b)

  •  
    ​

    Todo el mundo es mas alto que Barbara: ∀x⁢A⁢(x,b)\displaystyle\forall xA(x,b)

  •  
    ​

    Hay gente rubia mas alta que la madre de Antonio: ∃x⁢(R⁢(x)∧A⁢(x,m⁢(a)))\displaystyle\exists x(R(x)\wedge A(x,m(a)))