8 Espacio cociente

Definición 8.1.

Sea S\displaystyle S un subespacio vectorial de V\displaystyle V. En V\displaystyle V definimos la siguiente relación

v∼w⁢ si ⁢v−w∈S.\displaystyle v\sim w\text{ si }v-w\in S.
Proposición 8.1.

La relación ∼\displaystyle\sim es una relación de equivalencia.

Demostración.
  •  
    ​

    Reflexiva: para cada v,v∼v\displaystyle v,v\sim v porque v−v=0V∈S\displaystyle v-v=0_{V}\in S

  •  
    ​

    Simétrica: v∼w⇒v−w∈S⇒w−v∈S⇒w∼v\displaystyle v\sim w\Rightarrow v-w\in S\Rightarrow w-v\in S\Rightarrow w\simv

  •  
    ​

    Transitiva:

    v∼w⇒v−w∈Sw∼u⇒w−u∈S}⇒(v−w)+(w−u)=v−u∈S⇒v∼u\displaystyle\begin{rcases}v\sim w\Rightarrow v-w\in S\\w\sim u\Rightarrow w-u\in S\end{rcases}\Rightarrow(v-w)+(w-u)=v-u\in S%\Rightarrow v\sim u

∎

Proposición 8.2.

Las clases de equivalencia respecto de la relación ∼\displaystyle\sim son

[v]∼={v+s∣s∈S}=v+S\displaystyle[v]_{\sim}=\{v+s\mid s\in S\}=v+S
Demostración.

Por doble contenido:

⊆\displaystyle\boxed{\subseteq}

Si w∈[v]\displaystyle w\in[v], w∼v\displaystyle w\sim v así que w−v=s∈S\displaystyle w-v=s\in S, y w=v+s∈v+S\displaystyle w=v+s\in v+S.

⊇\displaystyle\boxed{\supseteq}

Si tomamos w=v+s\displaystyle w=v+s para algún s∈S\displaystyle s\in S entonces w−v=s∈S\displaystyle w-v=s\in S, luego w∼v⇒w∈[v]\displaystyle w\sim v\Rightarrow w\in[v].

∎

El conjunto cociente V/∼\displaystyle V/\sim lo vamos a denotar como V/S\displaystyle V/S y va a estar formado por las clases de equivalencia:

V/S={v+S∣v∈S}\displaystyle V/S=\{v+S\mid v\in S\}
Proposición 8.3.

En el conjunto cociente V/S\displaystyle V/S podemos definir las operaciones

+:V/S×V/S\displaystyle+\colon V/S\times V/S ⟶V/S\displaystyle\longrightarrow V/S
(v+S,w+S)\displaystyle(v+S,w+S) ⟼(v+w)+S\displaystyle\longmapsto(v+w)+S

y

⋅K:𝕂×V/S\displaystyle\cdot_{K}\colon\mathbb{K}\times V/S ⟶V/S\displaystyle\longrightarrow V/S
(λ,v+S)\displaystyle(\lambda,v+S) ⟼(λ⁢v)+S\displaystyle\longmapsto(\lambda v)+S

Estas operaciones están bien definidas y dan a V/S\displaystyle V/S una estructura de espacio vectorial. Este espacio vectorial se llama espacio cociente.

Demostración.

Veamos que +\displaystyle+ está bien definida, es decir, si v+S=v^+S\displaystyle v+S=\hat{v}+S y w+S=w^+S\displaystyle w+S=\hat{w}+S entonces (v+w)+S=(v^+w^)+S\displaystyle(v+w)+S=(\hat{v}+\hat{w})+S:

v+S=v^+S⇒v−v^∈S\displaystyle\displaystyle v+S=\hat{v}+S\Rightarrow v-\hat{v}\in S
w+S=w^+S⇒w−w^∈S\displaystyle\displaystyle w+S=\hat{w}+S\Rightarrow w-\hat{w}\in S

así que

v+w−(v^+w^)=v−v^⏟∈S+w−w^⏟∈S∈S.\displaystyle v+w-(\hat{v}+\hat{w})=\underbrace{v-\hat{v}}_{\in S}+\underbrace%{w-\hat{w}}_{\in S}\in S.

Veamos que ⋅K\displaystyle\cdot_{K} está bien definida, es decir, si v+S=v^+S\displaystyle v+S=\hat{v}+S y λ∈𝕂\displaystyle\lambda\in\mathbb{K} entonces (λ⁢v)+S=(λ⁢v^)+S\displaystyle(\lambda v)+S=(\lambda\hat{v})+S:

v+S=v^+S⇒v−v^∈S\displaystyle v+S=\hat{v}+S\Rightarrow v-\hat{v}\in S

así que

(λ⁢v)−(λ⁢v^)=λ⁢v−v^⏟∈S∈S\displaystyle(\lambda v)-(\lambda\hat{v})=\lambda\underbrace{v-\hat{v}}_{\in S%}\in S

Se puede comprobar que (V/S,+)\displaystyle(V/S,+) es un grupo abeliano. El elemento neutro de la +\displaystyle+ es la clase de equivalencia 0V+S=S\displaystyle 0_{V}+S=S y el opuesto de cada clase de equivalencia v+S\displaystyle v+S es (−v)+S\displaystyle(-v)+S. El resto de las propiedades se sigue de forma inmediata. ∎