11 Series de números reales

Definición 11.1 (Serie).

Sea (xn)n=1∞⊂ℝ\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R}. Sea Xn=x1+x2+⋯+xn=∑k=1nxk\displaystyle X_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=\sum_{k=1}^{n}x_{k}, la suma parcial n\displaystyle n-ésima con n∈ℕ\displaystyle n\in\mathbb{N}. La sucesión (Xn)n=1∞\displaystyle(X_{n})^{\infty}_{n=1} de sumas parciales recibe el nombre de serie asociada a la sucesion (xn)n=1∞\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1}, y si (Xn)n=1∞\displaystyle(X_{n})^{\infty}_{n=1} converge, a dicho límite se le denota por ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_{n} y se dice que (xn)n=1∞\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1} es sumable. Si l⁢ı´⁢mn→∞Xn=±∞\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}X_{% n}=\pm\infty, se dice que la serie diverge a ±∞\displaystyle\pm\infty. También se denota ∑n=1∞xn=±∞\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}=\pm\infty. En otro caso, se dice que la serie ni converge ni diverge.

Observación.
∑n=1∞xn=x1+x2+⋯+xn+⋯=l⁢ı´⁢mn→∞∑k=1nxn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}+\cdots=\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}x_{n}
Ejemplo.
  1. 1.
    ​

    Si xn=(−1)n,n∈ℕ\displaystyle x_{n}=(-1)^{n},n\in\mathbb{N}. X1=x1=−1\displaystyle X_{1}=x_{1}=-1 X2=x1+x2=(−1)+1=0\displaystyle X_{2}=x_{1}+x_{2}=(-1)+1=0 X3=x1+x2+x3=−1\displaystyle X_{3}=x_{1}+x_{2}+x_{3}=-1 … La serie ∑n=1∞(−1)n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} no converge ni diverge.

  2. 2.
    ​

    ∑n=1∞1n⁢(n−1)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)} 1n⁢(n−1)=1n−1n−1\displaystyle\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1} 11⋅2+12⋅3+13⋅4+⋯+1n⁢(n−1)=(11−12)+(12−13)+⋯=1−1n+1⁢⟶n→+∞⁢1\displaystyle\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+% \frac{1}{n(n-1)}=(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots=1-% \frac{1}{n+1}\overset{n\to+\infty}{\longrightarrow}1.

  3. 3.
    ​

    Series telescopicas: ∑n=1∞(yn−yn+1)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(y_{n}-y_{n+1}) Yn=(y1−y2)+(y2−y3)+(y3−y4)+⋯+(yn+1−yn)+(yn+yn+1)=y1−yn+1\displaystyle Y_{n}=(y_{1}-y_{2})+(y_{2}-y_{3})+(y_{3}-y_{4})+\cdots+(y_{n+1}-% y_{n})+(y_{n}+y_{n+1})=y_{1}-y_{n+1}. ∑n=1∞(yn−yn+1)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(y_{n}-y_{n+1}) converge ⇔(yn)n=1∞\displaystyle\Leftrightarrow(y_{n})^{\infty}_{n=1} converge. Además, en este caso, ∑n=1∞(yn−yn+1)=1−l⁢ı´⁢mn→∞yn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(y_{n}-y_{n+1})=1-\mathop{\operator@font l% \acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}y_{n}.

Observación.
∑n=1∞(xn+yn)=∑n=1∞xn+∑n=1∞yn⁢ si ⁢∑n=1∞xn,∑n=1∞yn⁢ convergen o ⁢∑n=1∞xn=∑n=1∞yn=±∞\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(x_{n}+y_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}+\sum_{n% =1}^{\infty}y_{n}\text{ si }\sum_{n=1}^{\infty}x_{n},\sum_{n=1}^{\infty}y_{n}% \text{ convergen o }\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}y_{n}=\pm\infty
∑n=1∞(a⋅xn)=a⋅∑n=1∞xn⁢ si ⁢∑n=1∞xn⁢ converge ⁢∀a∈ℝ⁢ o ⁢∑n=1∞xn=±∞⁢ con ⁢a≠0\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a\cdot x_{n})=a\cdot\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}% \text{ si }\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}\text{ converge }\;\forall a\in\mathbb{R}% \text{ o }\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}=\pm\infty\text{ con }a\neq 0
Proposición 11.1.

Sea (xn)n=1∞⊂ℝ\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R}.

∑n=1∞xn converge ⇔ Dado ε>0,∃n0∈ℕ∣|xm+1+xm+2+⋯+xn|<ε∀n≥m≥n0\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}\text{ converge }\Leftrightarrow\text{ % Dado }\varepsilon>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N}\mid\left|x_{m+1}+x_{m+2}+\cdots% +x_{n}\right|<\varepsilon\;\forall n\geq m\geq n_{0}
Demostración.

∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_{n} converge ⇔\displaystyle\Leftrightarrow existe l⁢ı´⁢mn→∞∑k=1nxk⇔(Xn)n=1∞\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}% \sum_{k=1}^{n}x_{k}\Leftrightarrow(X_{n})^{\infty}_{n=1} converge ⇔(Xn)n=1∞\displaystyle\Leftrightarrow(X_{n})^{\infty}_{n=1} es una sucesión de Cauchy ⇔\displaystyle\Leftrightarrow ∀ε>0⁢ existe ⁢n0∈ℕ⁢ con ⁢|Xn−Xm|<ε⁢∀n,m≥n0\displaystyle\forall\varepsilon>0\text{ existe }n_{0}\in\mathbb{N}\text{ con }% \left|X_{n}-X_{m}\right|<\varepsilon\;\forall n,m\geq n_{0}. Pero tenemos que

|Xn−Xm|\displaystyle\displaystyle\left|X_{n}-X_{m}\right| =|(x1+x2+⋯+xm+xm+1+⋯+xn)−(x1+x2+⋯+xm)|\displaystyle\displaystyle=\left|(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m}+x_{m+1}+\cdots+x_{n% })-(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m})\right|
=|xm+1+xm+2+⋯+xn|.\displaystyle\displaystyle=\left|x_{m+1}+x_{m+2}+\cdots+x_{n}\right|.

Luego |∑i=mnxi|=|xm+1+xm+2+⋯+xn|<ε⁢∀n≥m≥n0\displaystyle\left|\sum_{i=m}^{n}x_{i}\right|=\left|x_{m+1}+x_{m+2}+\cdots+x_{% n}\right|<\varepsilon\;\forall n\geq m\geq n_{0}. ∎

Ejemplo.

Serie geometrica de primer termino a\displaystyle a y razón r\displaystyle r. x1=a\displaystyle x_{1}=a, x2=r⋅a\displaystyle x_{2}=r\cdot a, x3=r⋅x2=r⋅r⋅a\displaystyle x_{3}=r\cdot x_{2}=r\cdot r\cdot a, …\displaystyle\ldots. Se tiene xn=a⋅rn−1\displaystyle x_{n}=a\cdot r^{n-1}. ∑n=1∞xn=∑n=1∞a⋅rn−1\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}a\cdot r^{n-1} converge si |r|<1\displaystyle|r|<1 y ademas ∑n=1∞a⋅rn−1=a⋅11−r=a1−r\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a\cdot r^{n-1}=a\cdot\frac{1}{1-r}=\frac{a}{1-r}.

Proposición 11.2.

Sea (xn)n=1∞⊂ℝ\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R}.

∑n=1∞xn⁢ converge ⁢⇒⇐⁢l⁢ı´⁢mn→∞xn=0.\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}\text{ converge }\begin{subarray}{c}% \Rightarrow\\ \cancel{\Leftarrow}\end{subarray}\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}% \limits_{n\to\infty}x_{n}=0.
Demostración.

Basta considerar n=m\displaystyle n=m en el criterio de Cauchy: si ε>0\displaystyle\varepsilon>0 podemos encontrar n0∈ℕ\displaystyle n_{0}\in\mathbb{N} de manera que si n≥n0\displaystyle n\geq n_{0}, entonces |xn|<ε\displaystyle\left|x_{n}\right|<\varepsilon, y esto es lo mismo que decir que xn=0\displaystyle x_{n}=0. ∎

Proposición 11.3.

Sea (xn)n=1∞⊂ℝ\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R} con xn≥0,∀n∈ℕ\displaystyle x_{n}\geq 0,\;\forall n\in\mathbb{N}. Entonces:

∑n=1∞xn⁢ converge⇔(∑k=1nxk)n=1∞⁢ esta acotada.\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}\text{ converge}\Leftrightarrow(\sum_{k=1% }^{n}x_{k})^{\infty}_{n=1}\text{ esta acotada}.
Demostración.

Como xn≥0⁢∀n∈ℕ\displaystyle x_{n}\geq 0\;\forall n\in\mathbb{N}, se tiene que la serie es una sucesión monótona creciente ya que X1≤X2≤X3≤⋯\displaystyle X_{1}\leq X_{2}\leq X_{3}\leq\cdots. Sabemos por el tema anterior que toda sucesión monótona es convergente si y sólo si está acotada. Luego es suficiente con aplicar este teorema para llegar al resultado. ∎

Proposición 11.4.

Las series del tipo ∑n=1∞1nα\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}} divergen cuando α∈(−∞,1]\displaystyle\alpha\in(-\infty,1] y convergen si α>1\displaystyle\alpha>1.