15 Dominio e imagen ‣ Parte IV Límites y continuidad ‣ Cálculo‣ Parte IV Límites y continuidad ‣ Cálculo

Definición 15.1 (Función).

Una función (de variable real) es una regla cualquiera que hace corresponder un número real y solamente uno a cada número de un cierto conjunto $\displaystyle A\subset\mathbb{R}$ :

	$\displaystyle f\colon A$	$\displaystyle\longrightarrow\mathbb{R}$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\longmapsto f(x)$

Definición 15.2.

Al conjunto $\displaystyle A$ le llamaremos dominio de $\displaystyle f$ , denotado por $\displaystyle A=Domf$ , y es el conjunto para los que $\displaystyle f(x)$ tiene sentido. También, llamaremos imagen de $\displaystyle f$ , denotado por $\displaystyle Imf$ , al conjunto de números reales $\displaystyle y$ para los que existe $\displaystyle x\in Domf$ tal que

\displaystyle y=f(x)

Ejemplo.

$\displaystyle h(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ Dado $\displaystyle x\in Domh$ , se tiene que $\displaystyle 1-x^{2}\geq 0,\sqrt{1-x^{2}}\neq 0\Rightarrow 1-x^{2}>0$ . Por tanto, $\displaystyle Domh=\{x\in\mathbb{R}\mid 1-x^{2}>0\}$ Resolviendo la ecuación, obtenemos como raíces $\displaystyle x=\pm 1$ . Dividiendo por tramos:

Por lo tanto, $\displaystyle Domh=(-1,1)$ ya que es el tramo que cumple que $\displaystyle 1-x^{2}>0$ . Para calcular la imagen de $\displaystyle h$ , sabemos que $\displaystyle y\in Imh$ si $\displaystyle\exists x\in(-1,1)\mid h(x)=y$ .

Para $\displaystyle y\leq 0$ : $\displaystyle\exists x\in(-1,1)\mid h(x)=y\Leftrightarrow 0<\frac{1}{\sqrt{1-x%^{2}}}=y\leq 0$ . No es posible.
Para $\displaystyle y>0$ : si $\displaystyle y\in Imh,\exists x\in(-1,1)$ tal que $\displaystyle h(x)=y\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=y\Rightarrow 1=y(\sqrt%{1-x^{2}})\Rightarrow 1=y^{2}\cdot(1-x^{2})\Rightarrow\frac{1}{y^{2}}=1-x^{2}%\Rightarrow x^{2}=1-\frac{1}{y^{2}}\Rightarrow x=\pm\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}$ . Supongamos $\displaystyle y\in Imh\Rightarrow x\in(-1,1)\mid h(x)=y\Rightarrow\frac{1}{%\sqrt{1-x^{2}}}=y\Rightarrow x=\pm\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}{\color[rgb]{1,0,0}%\in\mathbb{R}?}\;1-\frac{1}{y^{2}}\geq 0\Leftrightarrow 1\geq\frac{1}{y^{2}}%\Leftrightarrow y^{2}\geq 1$ . Luego $\displaystyle Imh=[1,\infty)$ . Cómo comprobamos si $\displaystyle y\in Imh$ ? $\displaystyle h(\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}})=\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-\frac{1}{y%^{2}}})^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-1+\frac{1}{y^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{y^{%2}}}}=\sqrt{y^{2}}=|y|=y$ . Además, $\displaystyle\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}\in(0,1)$ .
- •
  
  $\displaystyle\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}\geq 0$ .
- •
  
  $\displaystyle\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}<1$ . $\displaystyle 0<\frac{1}{y^{2}}\Rightarrow 1<\frac{1}{y^{2}}+1\Rightarrow 1-%\frac{1}{y^{2}}<\frac{1}{y^{2}}+1-\frac{1}{y^{2}}\Rightarrow 1-\frac{1}{y^{2}}%<1\Rightarrow\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}<\sqrt{1}=1$

Proposición 15.1.

Sea $\displaystyle f\colon A\to\mathbb{R}$ una funcion y un conjunto $\displaystyle B\subset A$ . Diremos que:

$\displaystyle f$ es creciente en $\displaystyle B$ si para todo $\displaystyle x_{1},x_{2}\in B$ , $\displaystyle x_{1}<x_{2}$ , $\displaystyle f(x_{1})\leq f(x_{2})$ .
$\displaystyle f$ es decreciente en $\displaystyle B$ si para todo $\displaystyle x_{1},x_{2}\in B,$ $\displaystyle x_{1},x_{2}\in B$ , $\displaystyle x_{1}<x_{2}$ , $\displaystyle f(x_{1})\geq f(x_{2})$ .

Diremos que es estricto cuando aparezca la desigualdad estricta.

Proposición 15.2.

Sea $\displaystyle f\colon A\to\mathbb{R}$ tal que si $\displaystyle x\in A$ , $\displaystyle-x\in A$ . Diremos que:

$\displaystyle f$ es par si $\displaystyle f(-x)=f(x)$ para todo $\displaystyle x\in A$
$\displaystyle f$ es impar si $\displaystyle f(-x)=-f(x)$ para todo $\displaystyle x\in A$ .

Definición 15.3.

Sea $\displaystyle f\colon A\to\mathbb{R}$ . Diremos que:

$\displaystyle f$ es acotada superiormente si $\displaystyle\exists K\in\mathbb{R}$ tal que $\displaystyle f(x)\leq K\;\forall x\in A$
$\displaystyle f$ es acotada inferiormente si $\displaystyle\exists K\in\mathbb{R}$ tal que $\displaystyle f(x)\geq K\;\forall x\in A$
$\displaystyle f$ es acotada si $\displaystyle\exists K\in\mathbb{R}$ tal que $\displaystyle|f(x)|\leq K\;\forall x\in A$ , o equivalentemente $\displaystyle\exists K_{1},K_{2}\in\mathbb{R}$ tal que $\displaystyle K_{2}\leq f(x)\leq K_{1}$ (acotada inferior y superiormente).

Definición 15.4 (Composición).

Sea $\displaystyle f\colon A\to\mathbb{R}$ y $\displaystyle g:B\to R$ tal que $\displaystyle f(a)\subset B$ . Se define la función composición como

	$\displaystyle g\circ f\colon A$	$\displaystyle\longrightarrow\mathbb{R}$
	$\displaystyle x$	$\displaystyle\longmapsto(g\circ f)(x)=g(f(x))$

Definición 15.5 (Inversa).

Sea $\displaystyle f\colon A\to B$ . Decimos que $\displaystyle g$ y $\displaystyle f$ , con $\displaystyle g\colon B\to A$ , son funciones inversas si:

\displaystyle(g\circ f)(x)=x\quad\forall x\in A\text{ y }(f\circ g)(x)=x\quad%\forall x\in B\quad(g=f^{-1})