18 Teoremas sobre funciones continuas

Teorema 18.1 (de Bolzano).

Sean $\displaystyle a,b\in\mathbb{R}$ con $\displaystyle a<b$ y supongamos que $\displaystyle f\colon A\to\mathbb{R}$ es continua en $\displaystyle[a,b]\subset A$ . Si se cumple que

\displaystyle\text{signo}(f(a))\neq\text{signo}(f(b))\text{ con }f(a)\neq 0%\text{ y }f(b)\neq 0

entonces existe $\displaystyle c\in(a,b)$ tal que $\displaystyle f(c)=0$ .

Demostración.

Supongamos que $\displaystyle f(a)>0$ y $\displaystyle f(b)<0$ . Consideramos $\displaystyle\gamma=\frac{a+b}{2}$ . Hay tres casos:

$\displaystyle f(\gamma)=0$ . Entonces $\displaystyle c=\gamma$ y queda demostrado.
$\displaystyle f(\gamma)<0$ . Defino $\displaystyle a_{1}=a$ y $\displaystyle b_{1}=\gamma$ . Entonces $\displaystyle f(a_{1})>0$ y $\displaystyle f(b_{1})<0$ y se puede repetir el proceso. Definimos $\displaystyle\gamma=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}$ . Puede ocurrir que $\displaystyle f(\gamma)=0,f(\gamma)>0$ o $\displaystyle f(\gamma)<0$ . Si $\displaystyle f(\gamma)=0,c=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}$ . Si $\displaystyle f(\gamma)>0$ , definimos $\displaystyle a_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}$ y $\displaystyle b_{2}=b_{1}$ . Si $\displaystyle f(\gamma)<0$ , defino $\displaystyle a_{2}=a_{1}$ y $\displaystyle b_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}$ . Si sigo repitiendo el proceso, obtengo que dado $\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}],f(a_{n})>0$ , $\displaystyle f(b_{n})<0$ , $\displaystyle I_{n+1}\subset I_{n}$ . Por el teorema de los intervalos anidados (4.2), si $\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ cumple que $\displaystyle I_{n}\supset I_{n+1}\;\forall n\in\mathbb{N}$ , entonces $\displaystyle\exists c\in\mathbb{R}$ tal que $\displaystyle c\in I_{n}\;\forall n\in\mathbb{N}$ . Falta demostrar que $\displaystyle c$ es el punto tal que $\displaystyle f(c)=0$ . Sabemos que $\displaystyle b_{1}-a_{1}=\frac{b-a}{2},b_{2}-a_{2}=\frac{b-a}{4}=\frac{b-a}{2%^{2}}$ . En general, $\displaystyle b_{n}-a_{n}=\frac{b-a}{2^{n}}$ . Como $\displaystyle c\in I_{n}\;\forall n\in\mathbb{N}$ ,
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  $\displaystyle a_{n}\leq c\leq b_{n}\Rightarrow a_{n}-a_{n}\leq c-a_{n}\leq b_{%n}-a_{n}\Rightarrow 0(\rightarrow 0)\leq c-a_{n}\leq b_{n}-a_{n}=\frac{b-a}{2^%{n}}(\rightarrow 0)$ . Luego, por el teorema del sandwich, $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}c-a%_{n}=0$ . Por tanto, $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}a_{%n}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}c-c+a_{n}=%\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}c-\mathop{%\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}c-a_{n}=c-0=c$ y $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}a_{%n}=c$ .
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  Siguiendo el mismo razonamiento, también se tiene que $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}b_{%n}=c$ .
Como $\displaystyle f$ es continua en $\displaystyle[a,b]\subset A$ , si $\displaystyle a_{n}\rightarrow c$ entonces $\displaystyle f(a_{n})\rightarrow f(c)$ y si $\displaystyle b_{n}\rightarrow c$ entonces $\displaystyle f(b_{n})\rightarrow f(c)$ . Además, $\displaystyle f(a_{n})\geq 0\;\forall n$ y $\displaystyle f(b_{n})\leq 0\;\forall n$ . Por tanto, la única opción es que $\displaystyle f(c)=0$ .
$\displaystyle f(\gamma)>0$ . Llamamos $\displaystyle a_{1}=\frac{a+b}{2}$ y $\displaystyle b_{1}=b\Rightarrow f(a_{1})>0$ y $\displaystyle f(b_{1})<0$ . El proceso es análogo al de cuando $\displaystyle f(\lambda)<0$ .

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Ejemplo.

$\displaystyle\exists x\in\mathbb{R}\text{ tal que }\cos(x)=x$ ? $\displaystyle f(x)=\cos x-x\in C(\mathbb{R})$ (continua). Se tiene que $\displaystyle F(0)=\cos 0-0=1>0$ y $\displaystyle F(\frac{\pi}{2})=\cos\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}<0$ . Por el teorema de Bolzano, sabemos que $\displaystyle\exists c\in(0,\frac{\pi}{2})$ tal que $\displaystyle F(c)=0\Rightarrow\cos c-c=0\Rightarrow\cos c=c$ .

Ejemplo.

Ejercicio 5 pg 147 - Sea que $\displaystyle f,g$ esten definidas en $\displaystyle A\subseteq\mathbb{R}$ a $\displaystyle\mathbb{R}$ y sea $\displaystyle c$ punto de acumulacion de $\displaystyle A$ . Supongase que $\displaystyle f$ esta acotada en una vecindad de $\displaystyle c$ y que $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to c}g=0$ . Demostrar que $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to c}fg=0$ . Es decir, que para $\displaystyle\forall\varepsilon>0,\text{tomando }\frac{\varepsilon}{M},\;%\exists\delta>0$ tal que $\displaystyle\forall x\in(c-\delta,c+\delta)\cap A$ , $\displaystyle\left|f(x)g(x)-0\right|<\frac{\varepsilon}{M}$ . Sabemos que $\displaystyle f$ esta acotada alrededor de $\displaystyle c$ , es decir, existe $\displaystyle M>0$ , $\displaystyle\exists\hat{\delta}>0$ , $\displaystyle\left|f(x)\right|<M\;\forall x\in(c-\hat{\delta},c+\hat{\delta})$ . Por otro lado, sea $\displaystyle\varepsilon>0$ . Sabemos que $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x\to c}g=0$ , entonces para $\displaystyle\frac{\varepsilon}{M}$ $\displaystyle\exists\overline{\delta}>0$ tal que $\displaystyle\forall x\in(c-\overline{\delta},c+\overline{\delta})\cap A,\left%|g(x)-0\right|<\frac{\varepsilon}{M}$ . Si tomamos $\displaystyle\delta=\mathop{\operator@font m\acute{{\imath}}n}\{\overline{%\delta},\hat{\delta}\}$ . Tengo que probar que $\displaystyle\forall x\in(c-\delta,c+\delta)\cap A,x\neq c$ , se cumple $\displaystyle\left|f(x)g(x)-0\right|<\varepsilon$ . Luego

$\displaystyle\left|f(x)g(x)-0\right|=\left|f(x)g(x)\right|=\left|f(x)\right|%\cdot\left|g(x)\right|<M\cdot\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon$

Teorema 18.2.

Sean $\displaystyle A,B\subseteq\mathbb{R}$ y sean $\displaystyle f\colon A\to\mathbb{R}$ y $\displaystyle g\colon B\to\mathbb{R}$ funciones tales que $\displaystyle f(A)\subseteq B$ . Si $\displaystyle f$ es continua en un punto $\displaystyle c\in A$ y $\displaystyle g$ es continua en $\displaystyle b=f(c)\in B$ , entonces la composición $\displaystyle g\circ f\colon A\to\mathbb{R}$ es continua en $\displaystyle c$ .

Demostración.

Sea $\displaystyle W$ una vecindad de $\displaystyle g(b)$ . Puesto que $\displaystyle g$ es continua en $\displaystyle b$ , existe una vecindad $\displaystyle V$ de $\displaystyle b=f(c)$ tal que si $\displaystyle y\in B\cap V$ entonces $\displaystyle g(y)\in W$ . Puesto que $\displaystyle f$ es continua en $\displaystyle c$ , existe una vecindad $\displaystyle U$ de $\displaystyle c$ tal que si $\displaystyle x\in A\cap U$ , entonces $\displaystyle f(x)\in V$ . Puesto que $\displaystyle f(A)\subseteq B$ , se sigue que si $\displaystyle x\in A\cap U$ , entonces $\displaystyle f(x)\in B\cap V$ , de modo que $\displaystyle(g\circ f)(x)=g(f(x))\in W$ . Pero como $\displaystyle W$ es una vecindad cualquiera de $\displaystyle g(b)$ , esto indica que $\displaystyle g\circ f$ es continua en $\displaystyle c$ . ∎

Teorema 18.3 (Teorema de Darboux).

Sean $\displaystyle a,b\in\mathbb{R}$ con $\displaystyle a<b$ y supongamos que $\displaystyle f\colon A\to\mathbb{R}$ es continua en $\displaystyle[a,b]\subset A$ .

Si $\displaystyle f(a)<f(b)$ , entonces para cada $\displaystyle z\in(f(a),f(b))$ , existe $\displaystyle c\in(a,b)$ tal que

$\displaystyle f(c)=z$
Si $\displaystyle f(a)>f(b)$ entonces para cada $\displaystyle z\in(f(b),f(a))$ , existe $\displaystyle c\in(a,b)$ tal que

$\displaystyle f(c)=z$

Demostración.

No vista en clase. ∎

Teorema 18.4 (Teorema de Weierstrass).

Sean $\displaystyle a,b\in\mathbb{R}$ con $\displaystyle a<b$ y supongamos que $\displaystyle f\colon A\to B$ es continua en $\displaystyle[a,b]\subset A$ . Entonces:

\displaystyle f\text{ esta acotada en }[a,b]

Ademas, existen $\displaystyle x_{m},x_{M}\in[a,b]$ tales que

\displaystyle f(x_{m})\leq f(x)\leq f(x_{M})\;\forall x\in[a,b]

Demostración.

No vista en clase. ∎