4 Mas ejemplos de anillos. DFU, DIP y DE.
4.1 Cuerpo de fracciones de un anillo
Proposición 4.1.
Sea
junto con la relacion
Proposición 4.2.
Consideramos el conjunto cociente
Definimos en
Estas operaciones estan bien definidas (no dependen de la eleccion de representantes).
Proposición 4.3.
Ejemplo.
-
Si
, entonces . -
Si
(sirve con que sea DI), . En este caso .
4.2 Los anillos ,
Vamos a ver otros dominios de integridad de los que podemos hallar su cuerpo de fracciones.
Proposición 4.4.
Sea
Entonces
Definición 4.1.
Corolario 4.1.
Ejemplo.
-
. Por ejemplo, . Ademas, se tiene que es el polinomio minimo de . -
. . Al evaluarlo en . -
. -
. El polinomio minimo es . -
(enteros de Gauss).
Definición 4.2.
Sea
Definición 4.3.
Sean
Observación.
Si
4.3 DFU, DIP, DE
Definición 4.4.
Sea
Definición 4.5 (Elemento irreducible).
Sea
Definición 4.6 (DFU).
Sean
Ejemplo.
-
es un DFU. -
es un DFU (teorema fundamental de la aritmetica).
Definición 4.7 (DIP).
Sea
Ejemplo.
-
es DIP. Todos los ideales de son de la forma para algun . -
no es DIP. -
es DIP.
Definición 4.8 (DE).
Sea
-
1.
se tiene que -
2.
, tales que y cumple que o bien .
Ejemplo.
-
es un DE con grado. -
con “valor absoluto” tambien es DE.
Teorema 4.1.
Ejemplo.
Contraejemplos a los reciprocos:
-
es DI pero no DFU. -
es DFU pero no DIP. -