5 Grupos. Generalidades

5.1 Definiciones básicas

Definición 5.1 (Grupo).

Un grupo es un par (G,⊗)\displaystyle(G,\otimes) donde:

  •  
    ​

    G\displaystyle G es un conjunto no vacio

  •  
    ​

    ⊗:G×G→G\displaystyle\otimes\colon G\times G\to G es una operacion interna

que cumplen:

  1. 1.
    ​

    Asociativa: ∀a,b,c∈G⁢(a⊗b)⊗c=a⊗(b⊗c)\displaystyle\forall a,b,c\in G\;(a\otimes b)\otimes c=a\otimes(b\otimes c)

  2. 2.
    ​

    Existencia de neutro: ∃eG∈G∣∀a∈G⁢a⊗eG=eG⊗a=a\displaystyle\exists e_{G}\in G\mid\forall a\in G\;a\otimes e_{G}=e_{G}\otimes a=a

  3. 3.
    ​

    Existencia de inversos: ∀a∈G⁢∃b∈G∣a⊗b=b⊗a=eG\displaystyle\forall a\in G\;\exists b\in G\mid a\otimes b=b\otimes a=e_{G}

Definición 5.2.

Un grupo (G,⊗)\displaystyle(G,\otimes) es abeliano o conmutativo si la operacion ⊗\displaystyle\otimes es conmutativa, es decir, ∀a,b∈G⁢a⊗b=b⊗a\displaystyle\forall a,b\in G\;a\otimes b=b\otimes a.

Proposición 5.1.
  1. 1.
    ​

    Sean G\displaystyle G un conjunto y ⊗\displaystyle\otimes una opreacion en G\displaystyle G con elemento neutro eG\displaystyle e_{G}. Se cumple que eG\displaystyle e_{G} es el unico elemento de G\displaystyle G con la propiedad que define al neutro.

  2. 2.
    ​

    Sea (G,⊗)\displaystyle(G,\otimes) un grupo. Se cumplen las propiedades de cancelacion:

    ∀a,b,c∈G\displaystyle\forall a,b,c\in G\quad a⊗b=a⊗c⇒b=c\displaystyle\quad a\otimes b=a\otimes c\Rightarrow b=c
    b⊗a=c⊗a⇒b=c\displaystyle b\otimes a=c\otimes a\Rightarrow b=c
  3. 3.
    ​

    En un grupo, el inverso de cualquier elemento es unico.

Demostración.
  1. 1.
    ​

    Supongamos que ∃e1,e2\displaystyle\exists e_{1},e_{2} que tienen la propiedad de neutro. Entonces e1=e1⊗e2=e2⇒e1=e2\displaystyle e_{1}=e_{1}\otimes e_{2}=e_{2}\Rightarrow e_{1}=e_{2}.

  2. 2.
    ​

    Como a∈G\displaystyle a\in G tiene inverso, multiplicando por el inverso en ambos lados se obtiene el resultado (trivial).

  3. 3.
    ​

    Sea a∈G\displaystyle a\in G y supongamos que ∃b1,b2\displaystyle\exists b_{1},b_{2} que actuan como inversos de a\displaystyle a. Entonces b1=b1⊗e=b1⊗(a⊗b2)=(b1⊗a)⊗b2=e⊗b2=b2\displaystyle b_{1}=b_{1}\otimes e=b_{1}\otimes(a\otimes b_{2})=(b_{1}\otimes a% )\otimes b_{2}=e\otimes b_{2}=b_{2}.

∎

En el caso en el que G\displaystyle G sea conmutativo, ⊗\displaystyle\otimes se suele denotar +\displaystyle+, al elemento neutro se le denota 0\displaystyle 0 y el inverso de cada elemento a∈G\displaystyle a\in G se llama opuesto y se denota −a\displaystyle-a.

En general, la operacion interna en el grupo se denota como ⋅\displaystyle\cdot o simplemente por yuxtaposicion a⋅b=a⁢b=a⊗b\displaystyle a\cdot b=ab=a\otimes b, y a−1\displaystyle a^{-1} denota el inverso de a∈G\displaystyle a\in G.

Definición 5.3.

El orden de un grupo G\displaystyle G es su numero de elementos, es decir, |G|\displaystyle\left|G\right|. Notacion: o⁢r⁢d⁢(G)\displaystyle ord(G).

Ejemplo.
  •  
    ​

    (A,+,⋅)\displaystyle(A,+,\cdot) es un anillo ⇒(A,+)\displaystyle\Rightarrow(A,+) es un grupo abeliano.

  •  
    ​

    (A,+,⋅)\displaystyle(A,+,\cdot) es un anillo ⇒(A∗,⋅)\displaystyle\Rightarrow(A^{*},\cdot) es un grupo, con A∗={elementos invertibles de A}\displaystyle A^{*}=\{\text{elementos invertibles de A}\}

  •  
    ​

    En particular, ℤp∗=ℤp−{0}\displaystyle\mathbb{Z}^{*}_{p}=\mathbb{Z}_{p}-\{0\} con p\displaystyle p primo. ℤ6∗={1,5}={m∈ℤ6∣m⁢c⁢d⁢(m⁢,6)=1}\displaystyle\mathbb{Z}^{*}_{6}=\{1,5\}=\{m\in\mathbb{Z}_{6}\mid mcd(m,6)=1\} ℤ8∗={1,3,5,7}\displaystyle\mathbb{Z}^{*}_{8}=\{1,3,5,7\}

  •  
    ​

    (ℳm×n⁢(K),+\displaystyle\mathcal{{M}}_{m\times n}(K),+) es un abeliano.

  •  
    ​

    Se denomina grupo general lineal a GLn=({A∈ℳn(K)∣det(A)≠0},⋅\displaystyle GL_{n}=(\{A\in\mathcal{{M}}_{n}(K)\mid det(A)\neq 0\},\cdot).

  •  
    ​

    Se denomina grupo especial lineal a S⁢Ln=({A∈ℳ⁢(K)∣d⁢e⁢t⁢(A)=1},⋅)\displaystyle SL_{n}=(\{A\in\mathcal{{M}}(K)\mid det(A)=1\},\cdot) (contenido en el anterior).

Proposición 5.2.

Sean G\displaystyle G un grupo y a∈G\displaystyle a\in G. Las funciones fa:G→G\displaystyle f_{a}\colon G\to G y ga:G→G\displaystyle g_{a}\colon G\to G definidas como fa⁢(x)≔a⁢x\displaystyle f_{a}(x)\coloneqq ax y ga⁢(x)≔x⁢a\displaystyle g_{a}(x)\coloneqq xa son biyectivas.

Definición 5.4 (Funcion phi de Euler).

La funcion φ:ℕ∖{1}→ℕ\displaystyle\varphi\colon\mathbb{N}\setminus\{1\}\to\mathbb{N} definida como φ⁢(n)≔o⁢r⁢d⁢(ℤn∗)\displaystyle\varphi(n)\coloneqq ord(\mathbb{Z}^{*}_{n}) recibe el nombre de funcion phi de Euler.

Proposición 5.3.
  1. 1.
    ​

    p\displaystyle p es primo ⇒φ⁢(p)=p−1\displaystyle\Rightarrow\varphi(p)=p-1

  2. 2.
    ​

    p\displaystyle p es primo y k≥2⇒φ⁢(pk)=(p−1)⁢pk−1\displaystyle k\geq 2\Rightarrow\varphi(p^{k})=(p-1)p^{k-1}

  3. 3.
    ​

    m,n≥2\displaystyle m,n\geq 2 tales que m⁢c⁢d⁢(m,n)=1⇒φ⁢(m⁢n)=φ⁢(m)⁢φ⁢(n)\displaystyle mcd(m,n)=1\Rightarrow\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)

Definición 5.5.

Sea (G,⋅)\displaystyle(G,\cdot) un grupo y ∅≠H⊆G\displaystyle\varnothing\neq H\subseteq G. Decimos que H\displaystyle H es subgrupo de G\displaystyle G si:

  1. 1.
    ​

    ∀r,s∈Hr⋅s∈H\displaystyle\forall r,s\in H\quad r\cdot s\in H

  2. 2.
    ​

    (H,⋅|H×H)\displaystyle(H,\cdot|_{H\times H}) cumple la definicion de grupo.

Proposición 5.4 (Caracterizacion 1 de subgrupo).

Sea (G,⋅)\displaystyle(G,\cdot) un grupo y H⊆G\displaystyle H\subseteq G. H\displaystyle H es subgrupo de G\displaystyle G si y solo si se cumplen:

  1. 1.
    ​

    eg∈H\displaystyle e_{g}\in H

  2. 2.
    ​

    ∀r∈Hr−1∈H\displaystyle\forall r\in H\quad r^{-1}\in H

  3. 3.
    ​

    ∀r,s∈Hr⋅s∈H\displaystyle\forall r,s\in H\quad r\cdot s\in H

Proposición 5.5 (Caracterizacion 2 de subgrupo).

Sea (G,⋅)\displaystyle(G,\cdot) un grupo y H⊆G\displaystyle H\subseteq G. H\displaystyle H es subgrupo de G\displaystyle G si y solo si se cumplen:

  •  
    ​

    eg∈H\displaystyle e_{g}\in H

  •  
    ​

    ∀r,s∈Hr⋅s−1∈H\displaystyle\forall r,s\in H\quad r\cdot s^{-1}\in H

Definición 5.6.

Sean (G1,⊗1)\displaystyle(G_{1},\otimes_{1}) y (G2,⊗2)\displaystyle(G_{2},\otimes_{2}) dos grupos. En el conjunto G1×G2\displaystyle G_{1}\times G_{2} se define la operacion

(x1,x2)⊗(y1,y2)≔(x1⊗1y1,x2⊗2y2)∈G1×G2\displaystyle(x_{1},x_{2})\otimes(y_{1},y_{2})\coloneqq(x_{1}\otimes_{1}y_{1},% x_{2}\otimes_{2}y_{2})\in G_{1}\times G_{2}
Proposición 5.6.

(G1×G2,⊗)\displaystyle(G_{1}\times G_{2},\otimes) es un grupo.

Definición 5.7.

Sea (G,⋅)\displaystyle(G,\cdot) un grupo y a∈G\displaystyle a\in G podemos definir:

La:G⟶Gx⟼a⁢xRa:G⟶Gx⟼x⁢a\displaystyle\begin{aligned} L_{a}\colon G&\longrightarrow G\\ x&\longmapsto ax\end{aligned}\qquad\begin{aligned} R_{a}\colon G&% \longrightarrow G\\ x&\longmapsto xa\end{aligned}

Ademas, La\displaystyle L_{a} y Ra\displaystyle R_{a} son biyectivas.

Definición 5.8 (Homomorfismo).

Sean (G1,⊗1)\displaystyle(G_{1},\otimes_{1}) y (G2,⊗2)\displaystyle(G_{2},\otimes_{2}) dos grupos y f:G1→G2\displaystyle f\colon G_{1}\to G_{2} una funcion. Decimos que f\displaystyle f es homomorfismo de grupos si cumple:

∀x,y∈G1f⁢(x⊗1y)=f⁢(x)⊗2f⁢(y)\displaystyle\forall x,y\in G_{1}\quad f(x\otimes_{1}y)=f(x)\otimes_{2}f(y)
Observación.

En general, La\displaystyle L_{a} y Ra\displaystyle R_{a} no son homomorfismos de grupos.

Definición 5.9 (Monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, automorfismo).

Sean G1\displaystyle G_{1} y G2\displaystyle G_{2} dos grupos y f:G1→G2\displaystyle f\colon G_{1}\to G_{2} una funcion. Decimos que f\displaystyle f es un monomorfismo de grupos si f\displaystyle f es un homomorfismo inyectivo (G1↪G2\displaystyle G_{1}\hookrightarrow G_{2}), epimorfismo si f\displaystyle f es un homomorfismo suprayectivo (G1↠G2)\displaystyle(G_{1}\twoheadrightarrow G_{2}), isomorfismo si f\displaystyle f es un homomorfismo biyectivo, y automorfismo si f\displaystyle f es un isomorfismo tal que G1=G2\displaystyle G_{1}=G_{2}.

Definición 5.10 (Grupos isomorfos).

Sean G1\displaystyle G_{1} y G2\displaystyle G_{2} dos grupos. Decimos que G1\displaystyle G_{1} y G2\displaystyle G_{2} son grupos isomorfos si existe algun isomorfismo f:G1→G2\displaystyle f\colon G_{1}\to G_{2}. Notacion: G1≅G2\displaystyle G_{1}\cong G_{2}.

Proposición 5.7.

Sea f:G1→G2\displaystyle f\colon G_{1}\to G_{2} un homomorfismo de grupos. Se cumple:

  1. 1.
    ​

    f⁢(e1)=e2\displaystyle f(e_{1})=e_{2}

  2. 2.
    ​

    ∀a∈G1⁢f⁢(a−1)=(f⁢(a))−1\displaystyle\forall a\in G_{1}\;f(a^{-1})=(f(a))^{-1}

Demostración.
  1. 1.
    ​

    f⁢(e1)=f⁢(e1⋅1e1)=f⁢(e1)⋅2f⁢(e1)⁢⇒Cancelacion⁢e2=f⁢(e1)\displaystyle f(e_{1})=f(e_{1}\cdot_{1}e_{1})=f(e_{1})\cdot_{2}f(e_{1})% \overset{\text{Cancelacion}}{\Rightarrow}e_{2}=f(e_{1}).

  2. 2.
    ​

    f⁢(a)⋅f⁢(a−1)=f⁢(a⋅a−1)=f⁢(e1)=e2⇒(f⁢(a))−1=f⁢(a)\displaystyle f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=f(e_{1})=e_{2}\Rightarrow(f% (a))^{-1}=f(a). Analogamente, f⁢(a−1)⋅f⁢(a)=e2\displaystyle f(a^{-1})\cdot f(a)=e_{2}.

∎

Proposición 5.8.

Sean f:G→H\displaystyle f\colon G\to H y g:H→L\displaystyle g\colon H\to L homomorfismos de grupos. Entonces g∘f\displaystyle g\circ f es un homomorfismo de grupos.

Demostración.

Trivial. ∎

Proposición 5.9.

Sea f:G→H\displaystyle f\colon G\to H un isomorfismo de grupos. Se cumple:

  1. 1.
    ​

    f−1\displaystyle f^{-1} es isomorfismo de grupos.

  2. 2.
    ​

    G\displaystyle G abeliano ⇒H\displaystyle\Rightarrow H abeliano.

Proposición 5.10.

La relacion de isomorfia de grupos es una relacion de de equivalencia.

Definición 5.11.

Sea f:G→H\displaystyle f\colon G\to H un homomorfismo de grupos. Se definen el nucleo y la imagen de f\displaystyle f como:

  •  
    ​

    K⁢e⁢r⁢f≔{x∈G∣f⁢(x)=eH}\displaystyle Kerf\coloneqq\{x\in G\mid f(x)=e_{H}\}

  •  
    ​

    I⁢m⁢f≔{y∈H∣∃x∈G∣∃f⁢(x)=y}\displaystyle Imf\coloneqq\{y\in H\mid\exists x\in G\mid\exists f(x)=y\}

Proposición 5.11.
  1. 1.
    ​

    K⁢e⁢r⁢f\displaystyle Kerf es un subgrupo de G\displaystyle G.

  2. 2.
    ​

    f\displaystyle f es inyectiva ⇔K⁢e⁢r⁢f={eG}\displaystyle\Leftrightarrow Kerf=\{e_{G}\}.

  3. 3.
    ​

    I⁢m⁢f\displaystyle Imf es un subgrupo de H\displaystyle H.

  4. 4.
    ​

    f\displaystyle f es suprayectiva ⇔I⁢m⁢f=H\displaystyle\Leftrightarrow Imf=H.

Demostración.
  •  
    ​

    Veamos que K⁢e⁢r⁢f\displaystyle Kerf es cerrado para la operacion. Si h1,h2∈K⁢e⁢r⁢f\displaystyle h_{1},h_{2}\in Kerf, h1⁢h2∈K⁢e⁢r⁢f⁢?\displaystyle h_{1}h_{2}\in Kerf?.

    f⁢(h1⁢h2)⁢=Homomorfismo⁢f⁢(h1)⏟e⁢f⁢(h2)⏟e=e\displaystyle f(h_{1}h_{2})\overset{\text{Homomorfismo}}{=}\underbrace{f(h_{1}% )}_{e}\underbrace{f(h_{2})}_{e}=e

    Luego h1⁢h2∈K⁢e⁢r⁢f\displaystyle h_{1}h_{2}\in Kerf. Si h∈H\displaystyle h\in H, f⁢(h−1)=(f⁢(h)⏟e)−1=e\displaystyle f(h^{-1})=(\underbrace{f(h)}_{e})^{-1}=e. K⁢e⁢r⁢f\displaystyle Kerf es cerrado para opuestos.

∎

5.2 Orden de un elemento

Sean G\displaystyle G un grupo, a∈G\displaystyle a\in G y k∈ℕ\displaystyle k\in\mathbb{N}, denotamos ak≔a⋅a⁢⋯⁢a⏟k⁢ veces\displaystyle a^{k}\coloneqq\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{k\text{ veces}}, a−k≔(a−1)k\displaystyle a^{-k}\coloneqq(a^{-1})^{k} y a0≔eG\displaystyle a^{0}\coloneqq e_{G}.

Definición 5.12 (Orden de un elemento).

Sean G\displaystyle G un grupo y a∈G\displaystyle a\in G.

  •  
    ​

    Decimos que a\displaystyle a es de orden finito si ∃k∈ℕ\displaystyle\exists k\in\mathbb{N} tal que ak=e\displaystyle a^{k}=e. En ese caso definimos el orden de a\displaystyle a como:

    o⁢r⁢d⁢(a)≔m⁢ı´⁢n{k∈ℕ∣ak=e}\displaystyle ord(a)\coloneqq\mathop{\operator@font m\acute{{\imath}}n}\{k\in% \mathbb{N}\mid a^{k}=e\}
  •  
    ​

    Decimos que a\displaystyle a es de orden infinito si ∄k∈ℕ\displaystyle\not\exists k\in\mathbb{N} tal que ak=e\displaystyle a^{k}=e. En ese caso definimos el orden de a\displaystyle a como:

    o⁢r⁢d⁢(a)≔∞\displaystyle ord(a)\coloneqq\infty
Ejemplo.
  1. 1.
    ​

    G=(ℤ3,+)←\displaystyle G=(\mathbb{Z}_{3},+)\leftarrow grupo abeliano con neutro 0. En vez de escribir ak,\displaystyle a^{k}, escribiremos K⁢a=a+a+⋯+a\displaystyle Ka=a+a+\cdots+a (k veces). Tenemos que o⁢(0)=1\displaystyle o(0)=1, o⁢(1)=8\displaystyle o(1)=8, o⁢(2)=4\displaystyle o(2)=4, o⁢(3)=8\displaystyle o(3)=8, o⁢(4)=2\displaystyle o(4)=2, o⁢(5)=8\displaystyle o(5)=8, o⁢(6)=4\displaystyle o(6)=4 y o⁢(7)=8\displaystyle o(7)=8.

  2. 2.
    ​

    En G=(ℤ8∗,⋅)\displaystyle G=(\mathbb{Z}^{*}_{8},\cdot), o⁢(1)=1\displaystyle o(1)=1, o⁢(3)=2\displaystyle o(3)=2, o⁢(5)=2\displaystyle o(5)=2, o⁢(7)=2\displaystyle o(7)=2.

  3. 3.
    ​

    En G=(ℤ,+)\displaystyle G=(\mathbb{Z},+), o⁢(0)=1\displaystyle o(0)=1 y ∀x≠0⁢o⁢(1)=∞\displaystyle\forall x\neq 0\;o(1)=\infty.

  4. 4.
    ​

    G=(ℤ2×ℤ3,+)\displaystyle G=(\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3},+), o⁢(1,1)=6\displaystyle o(1,1)=6…

Proposición 5.12.

Sean G\displaystyle G un grupo y a∈G\displaystyle a\in G.

  1. 1.
    ​

    G\displaystyle G finito ⇒∀a∈G⁢a\displaystyle\Rightarrow\forall a\in G\;a es de orden finito.

  2. 2.
    ​

    o⁢r⁢d⁢(a)=∞⇒{a0,a1,a2,…,ak,…}\displaystyle ord(a)=\infty\Rightarrow\{a^{0},a^{1},a^{2},\ldots,a^{k},\ldots\} esta formado por elementos distintos dos a dos.

  3. 3.
    ​

    Sean k∈ℤ\displaystyle k\in\mathbb{Z} y n=o⁢r⁢d⁢(a)\displaystyle n=ord(a). Entonces:

    ak=e⇔n|k\displaystyle a^{k}=e\Leftrightarrow n|k
  4. 4.
    ​

    Sean j,k∈ℤ\displaystyle j,k\in\mathbb{Z} y n=o⁢r⁢d⁢(a)\displaystyle n=ord(a). Entonces:

    aj=ak⇔j≡k(mo´dn\displaystyle a^{j}=a^{k}\Leftrightarrow j\equiv k\allowbreak\mkern 18.0mu({% \operator@font m\acute{o}d}\,\,n
  5. 5.
    ​

    Sea n=o⁢r⁢d⁢(a)\displaystyle n=ord(a) y supongamos que n=t⁢d\displaystyle n=td. Entonces o⁢r⁢d⁢(at)=d\displaystyle ord(a^{t})=d.

Demostración.
  1. 1.
    ​

    Supongamos que |G|=n\displaystyle|G|=n con n∈ℕ\displaystyle n\in\mathbb{N}. Consideramos a,a2,a3,…,an,an+1\displaystyle a,a^{2},a^{3},\ldots,a^{n},a^{n+1}. Como |G|=n\displaystyle|G|=n, tiene que haber al menos 2\displaystyle 2 iguales en la lista anterior. Sea ak=am\displaystyle a^{k}=a^{m} con k>m\displaystyle k>m. Multiplicando por (am)−1\displaystyle(a^{m})^{-1} ((am)−1=a−1⋅a−1⁢⋯⁢a−1\displaystyle(a^{m})^{-1}=a^{-1}\cdot a^{-1}\cdots a^{-1} (m veces)) en ambos lados, ak⋅a−m=am⋅a−m=e⇒ak−m=e⇒o⁢r⁢d⁢(a)<∞\displaystyle a^{k}\cdot a^{-m}=a^{m}\cdot a^{-m}=e\Rightarrow a^{k-m}=e% \Rightarrow ord(a)<\infty.

  2. 2.
    ​

    Por reduccion al absurdo, supongamos que en la lista a,a2,…,am,…\displaystyle a,a^{2},\ldots,a^{m},\ldots hay dos elementos ak\displaystyle a^{k} y am\displaystyle a^{m} que son iguales. Supongamos que ak=am\displaystyle a^{k}=a^{m} con k>m\displaystyle k>m. Multiplicando por (am)−1\displaystyle(a^{m})^{-1}, ak−m=ak⋅a−m=e⇒o⁢r⁢d⁢(a)<∞\displaystyle a^{k-m}=a^{k}\cdot a^{-m}=e\Rightarrow ord(a)<\infty.

  3. 3.
    ​

    Supongamos que o⁢(a)=n<∞\displaystyle o(a)=n<\infty. “⇒\displaystyle\Rightarrow” Supongamos que ak=e\displaystyle a^{k}=e. Tengo que k=n⋅q+r⇒e=ak=an⁢q+r=(an)q⋅ar=eq⁢ar=ar\displaystyle k=n\cdot q+r\Rightarrow e=a^{k}=a^{nq+r}=(a^{n})^{q}\cdot a^{r}=% e^{q}a^{r}=a^{r}. Hay dos casos: r=0\displaystyle r=0 o n>r≠0\displaystyle n>r\neq 0. Si n>r≠0\displaystyle n>r\neq 0, hay una contradiccion con que o⁢(a)=n\displaystyle o(a)=n. Luego r=0\displaystyle r=0 y por tanto n|k\displaystyle n|k. “⇐\displaystyle\Leftarrow” n|k\displaystyle n|k, es decir, k=n⁢q\displaystyle k=nq. Entonces ak=an⁢q=(an)q=e\displaystyle a^{k}=a^{nq}=(a^{n})^{q}=e.

  4. 4.
    ​

    “⇒\displaystyle\Rightarrow” Supongamos que ai=aj\displaystyle a^{i}=a^{j} y que i>j\displaystyle i>j. Multiplicamos por a−j\displaystyle a^{-j} y nos queda ai⋅a−j⏟ai−j=aj⋅a−j=e⇒n|i−j⇔i≡j(mo´dn\displaystyle\underbrace{a^{i}\cdot a^{-j}}_{a^{i-j}}=a^{j}\cdot a^{-j}=e% \Rightarrow n|i-j\Leftrightarrow i\equiv j\allowbreak\mkern 18.0mu({% \operator@font m\acute{o}d}\,\,n. “⇐\displaystyle\Leftarrow” Supongamos que i≡j(mo´dn\displaystyle i\equiv j\allowbreak\mkern 18.0mu({\operator@font m\acute{o}d}\,\,n, es decir, i−j\displaystyle i-j es multiplo de n\displaystyle n: ∃k∈ℤ∣i−j=n⋅k\displaystyle\exists k\in\mathbb{Z}\mid i-j=n\cdot k (i=j+n⁢k\displaystyle i=j+nk). Nos queda

    ai=aj+n⁢k=aj⋅(an⏟e)k=aj\displaystyle a^{i}=a^{j+nk}=a^{j}\cdot(\underbrace{a^{n}}_{e})^{k}=a^{j}
  5. 5.
    ​

    Queremos ver que o⁢r⁢d⁢(a2)=d\displaystyle ord(a^{2})=d. Hay que ver que (at)d=e\displaystyle(a^{t})^{d}=e (a) y que ∄d′<d\displaystyle\not\exists d^{\prime}<d tal que (at)d=e\displaystyle(a^{t})^{d}=e (b). En primer lugar, (at)d=at⁢d=an=e\displaystyle(a^{t})^{d}=a^{td}=a^{n}=e (a). (b) Por reduccion al absurdo, supongamos que ∃d′<d\displaystyle\exists d^{\prime}<d tal que (at)d=e\displaystyle(a^{t})^{d}=e. Entonces tendriamos que n′=t⁢d′<t⁢d=n\displaystyle n^{\prime}=td^{\prime}<td=n. Esto no puede ser porque entonces existiria n′<n\displaystyle n^{\prime}<n tal que an′=e\displaystyle a^{n^{\prime}}=e y es una contradiccion con que o⁢r⁢d⁢(a)=n\displaystyle ord(a)=n.

∎

5.3 Grupos ciclicos

Definición 5.13.

Decimos que un grupo G\displaystyle G es ciclico si ∃a∈G\displaystyle\exists a\in G tal que G={ak∣k∈ℤ}\displaystyle G=\{a^{k}\mid k\in\mathbb{Z}\}. En ese caso decimos tambien que a\displaystyle a es un generador de G\displaystyle G. Notacion: G=⟨a⟩\displaystyle G=\langle a\rangle.

Observación.

Un grupo ciclico puede tener varios generadores distintos.

Observación.

Los grupos ciclicos siempre son abelianos. Dados ak,aj∈G\displaystyle a^{k},a^{j}\in G,

ak⋅aj=ak+j=aj+k=aj⋅ak\displaystyle a^{k}\cdot a^{j}=a^{k+j}=a^{j+k}=a^{j}\cdot a^{k}
Proposición 5.13.

Sean G\displaystyle G un grupo ciclico y a\displaystyle a un generador de G\displaystyle G. Entonces:

  •  
    ​

    Si o⁢r⁢d⁢(a)=∞⇒G≅ℤ\displaystyle ord(a)=\infty\Rightarrow G\cong\mathbb{Z} Es mas, la siguiente funcion es un isomorfismo

    f:ℤ\displaystyle f\colon\mathbb{Z} ⟶G\displaystyle\longrightarrow G
    k\displaystyle k ⟼ak\displaystyle\longmapsto a^{k}
  •  
    ​

    Si o⁢r⁢d⁢(a)=n⇒G≅ℤn\displaystyle ord(a)=n\Rightarrow G\cong\mathbb{Z}_{n} Es mas, la siguiente funcion es un isomorfismo

    f:ℤn\displaystyle f\colon\mathbb{Z}_{n} ⟶G\displaystyle\longrightarrow G
    [k]n\displaystyle[k]_{n} ⟼ak\displaystyle\longmapsto a^{k}
Demostración.
  •  
    ​

    Veamos que f\displaystyle f es homomorfismo de grupos:

    f⁢(n+m)=an+m=an⋅am=f⁢(n)⋅f⁢(m)\displaystyle f(n+m)=a^{n+m}=a^{n}\cdot a^{m}=f(n)\cdot f(m)

    Tambien es inyectivo por el apartado 2 de la proposicion 5.12. Es suprayectiva por la definicion de grupo ciclico (todo elemento es de la forma ak\displaystyle a^{k} asi que f⁢(k)=ak\displaystyle f(k)=a^{k}). Luego f\displaystyle f es isomorfismo.

  •  
    ​

    Supongamos que o⁢r⁢d⁢(a)=n<∞\displaystyle ord(a)=n<\infty. Definimos f:ℤn→G,[k]↦ak\displaystyle f\colon\mathbb{Z}_{n}\rightarrow G,[k]\mapsto a^{k}. Veamos si esta bien definida: si k′∈[k]n⇒k′≡nk⁢⇒4) de 5.12⁢ak=ak′=f⁢([k])\displaystyle k^{\prime}\in[k]_{n}\Rightarrow k^{\prime}\equiv_{n}k\overset{% \text{4) de }\ref{orden}}{\Rightarrow}a^{k}=a^{k^{\prime}}=f([k]). Es homomorfismo de grupos ya que f⁢([k]+[j])=f⁢([k+j])=ak+j=ak⋅aj=f⁢([k])⋅f⁢([j])\displaystyle f([k]+[j])=f([k+j])=a^{k+j}=a^{k}\cdot a^{j}=f([k])\cdot f([j]). f\displaystyle f es inyectiva porque si ak=aj⁢⇒4) de 5.12⁢k≡nj⇔[k]=[j]\displaystyle a^{k}=a^{j}\overset{\text{4) de }\ref{orden}}{\Rightarrow}k% \equiv_{n}j\Leftrightarrow[k]=[j]. Como el grupo es ciclico, todo elemento es de la forma ak\displaystyle a^{k}, una preimagen es [k]n\displaystyle[k]_{n} ya que f⁢(k)≔ak\displaystyle f(k)\coloneqq a^{k}. Por tanto es suprayectiva.

∎

Proposición 5.14 (Subgrupo ciclico generado por un elemento).

Sean G\displaystyle G un grupo y b∈G\displaystyle b\in G.

⟨b⟩≔{bk∣k∈ℤ}⁢ es un subgrupo de ⁢G\displaystyle\langle b\rangle\coloneqq\{b^{k}\mid k\in\mathbb{Z}\}\text{ es un% subgrupo de }G

5.4 Grupos de permutaciones

Definición 5.14.

Sea T≠∅,G={f:T→T∣f⁢ es biyectiva}\displaystyle T\neq\varnothing,G=\{f\colon T\to T\mid f\text{ es biyectiva}\} y ∘\displaystyle\circ el simbolo que denota la composicion de funciones. Entonces (G,∘)\displaystyle(G,\circ) es un grupo ya que la composicion es una operacion interna en G\displaystyle G, es asociativa, tiene elemento neutro (i⁢d:T→T\displaystyle id\colon T\to T) y ∀f∈G,∃f−1∈G∣f∘f−1=i⁢d\displaystyle\forall f\in G,\exists f^{-1}\in G\mid f\circ f^{-1}=id. Ademas, (G,∘)\displaystyle(G,\circ) recibe el nombre de grupos de permutaciones de G\displaystyle G.

Definición 5.15 (Grupo de permutaciones de n\displaystyle n elementos).

Sea Tn={1,2,…,n}\displaystyle T_{n}=\{1,2,\ldots,n\} el conjunto formado por los primeros n\displaystyle n numeros naturales. Definimos:

Sn≔{σ:Tn→Tn∣σ⁢ es biyectiva}\displaystyle S_{n}\coloneqq\{\sigma\colon T_{n}\to T_{n}\mid\sigma\text{ es % biyectiva}\}

(Sn,∘)\displaystyle(S_{n},\circ) recibe el nombre de grupo de permutaciones de n\displaystyle n elementos o grupo simetrico.

Proposición 5.15.

|Sn|=n!\displaystyle|S_{n}|=n!

Dado σ∈Sn\displaystyle\sigma\in S_{n} usaremos la siguiente notacion matricial para referirnos a σ\displaystyle\sigma:

σ=(1)))23⋯nσ⁢(1)σ⁢(2)σ⁢(3)⋯σ⁢(n))\displaystyle\sigma=\begin{pmatrix}1)))&2&3&\cdots&n\\ \sigma(1)&\sigma(2)&\sigma(3)&\cdots&\sigma(n)\\ \end{pmatrix}
Ejemplo.
σ=(1234521354)∈S5\displaystyle\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\ 2&1&3&5&4\\ \end{pmatrix}\in S_{5}

Un caso particular de permutacion viene dado por los ciclos.

Definición 5.16.

Sea k∈ℕ\displaystyle k\in\mathbb{N}, k≥2\displaystyle k\geq 2. Decimos que una permutacion σ∈Sn\displaystyle\sigma\in S_{n} es un k\displaystyle k-ciclo si ∃a1,a2,…,ak∈Tn\displaystyle\exists a_{1},a_{2},\ldots,a_{k}\in T_{n} tal que:

  •  
    ​

    ∀i∈{1,…,k−1}⁢σ⁢(ai)=ai+1\displaystyle\forall i\in\{1,\ldots,k-1\}\;\sigma(a_{i})=a_{i+1}

  •  
    ​

    σ⁢(an)=a1\displaystyle\sigma(a_{n})=a_{1}

  •  
    ​

    ∀a∉{a1,…,ak}σ⁢(a)=a\displaystyle\forall a\notin\{a_{1},\ldots,a_{k}\}\quad\sigma(a)=a

Dado σ∈Sn\displaystyle\sigma\in S_{n} un k\displaystyle k-ciclo, usaremos la siguiente notacion para referirnos a σ:\displaystyle\sigma:

σ=(a1⁢…⁢ak)\displaystyle\sigma=\begin{pmatrix}a_{1}\ldots a_{k}\end{pmatrix}
Ejemplo.

σ=(251)∈S5≡(1234525341)o⁢r⁢d⁢(σ)=3\displaystyle\sigma=\begin{pmatrix}2&5&1\\ \end{pmatrix}\in S_{5}\equiv\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\ 2&5&3&4&1\\ \end{pmatrix}\qquad ord(\sigma)=3

Definición 5.17.

Se dice que un ciclo es una trasposicion si tiene longitud 2.

Definición 5.18.

Dados dos ciclos σ,τ∈Sn\displaystyle\sigma,\tau\in S_{n}, σ=(a1a2⋯ak)\displaystyle\sigma=\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots&a_{k}\\ \end{pmatrix} y τ=(b1b2⋯bm)\displaystyle\tau=\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots&b_{m}\\ \end{pmatrix}, decimos que σ\displaystyle\sigma y τ\displaystyle\tau son disjuntos si

{a1,a2,…,ak}∩{b1,b2,…,bm}=∅\displaystyle\{a_{1},a_{2},\ldots,a_{k}\}\cap\{b_{1},b_{2},\ldots,b_{m}\}=\varnothing
Ejemplo.
  •  
    ​

    (251),(34)\displaystyle\begin{pmatrix}2&5&1\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix}3&4\\ \end{pmatrix} son disjuntos.

  •  
    ​

    (251),(213)\displaystyle\begin{pmatrix}2&5&1\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix}2&1&3\\ \end{pmatrix} son disjuntos.

Observación.

Los ciclos disjuntos conmutan.

Usualmente omitiremos el simbolo de composicion y escribiremos simplemente las permutaciones una despues de otra:

σ⁢τ≔σ∘τ\displaystyle\sigma\tau\coloneqq\sigma\circ\tau
Proposición 5.16.

Toda permutacion σ∈Sn\displaystyle\sigma\in S_{n} se puede escribir como composicion de ciclos disjuntos.

Demostración.

Sea σ∈Sn\displaystyle\sigma\in S_{n}. Sea i1\displaystyle i_{1} tal que i1≠σ⁢(i1)=i2,i2≠σ⁢(i2)=i3,i3≠σ⁢(i3),i4≠σ⁢(i4),…\displaystyle i_{1}\neq\sigma(i_{1})=i_{2},i_{2}\neq\sigma(i_{2})=i_{3},i_{3}% \neq\sigma(i_{3}),i_{4}\neq\sigma(i_{4}),\ldots. Sea ik\displaystyle i_{k} el primero que cumple que σ⁢(ik)∈{i1,i2,…,ik−1}\displaystyle\sigma(i_{k})\in\{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k-1}\}. Veamos que σ⁢(ik)=i1\displaystyle\sigma(i_{k})=i_{1}. Por reduccion al absurdo, supongamos que σ⁢(ik)=ij\displaystyle\sigma(i_{k})=i_{j} con j>1\displaystyle j>1. Entonces σ⁢(ik)=ij=σ⁢(ij−1)\displaystyle\sigma(i_{k})=i_{j}=\sigma(i_{j-1}). Esto es imposible porque σ\displaystyle\sigma es biyectiva. Luego σ⁢(ik)=i1\displaystyle\sigma(i_{k})=i_{1}. Sea b∈{1,…,n}∖{i1,i2,…,ik}\displaystyle b\in\{1,\ldots,n\}\setminus\{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}\} tal que σ⁢(b)≠b\displaystyle\sigma(b)\neq b: b1=b,b2=σ⁢(b1),…,bs=σ⁢(bs−1),σ⁢(bs)=b1\displaystyle b_{1}=b,b_{2}=\sigma(b_{1}),\ldots,b_{s}=\sigma(b_{s-1}),\sigma(% b_{s})=b_{1}. Repetimos el proceso hasta descomponer todo σ\displaystyle\sigma y nos queda que σ=(i1⁢i2⁢⋯⁢ik)⁢(b1⁢⋯⁢bs)\displaystyle\sigma=(i_{1}i_{2}\cdots i_{k})(b_{1}\cdots b_{s}) ∎

Ejemplo.
  1. 1.
    ​

    (1234567826318745)≡(12674)⁢(58)\displaystyle\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\ 2&6&3&1&8&7&4&5\\ \end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}1&2&6&7&4\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&8\\ \end{pmatrix}

  2. 2.
    ​

    (1234567851724638)≡(1542)⁢(37)⁢(68)\displaystyle\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\ 5&1&7&2&4&6&3&8\\ \end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}1&5&4&2\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&7\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}6&8\\ \end{pmatrix}

Ejemplo.

Composicion a la derecha: (251)⁢(213)⁢(52)≡(1234531542)\displaystyle\begin{pmatrix}2&5&1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1&3\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&2\\ \end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\ 3&1&5&4&2\\ \end{pmatrix}

Lema 5.1.

Todo ciclo se escribe como producto de trasposiciones (no necesariamente disjuntas).

Demostración.

(i1i2⋯ik)=(i1ik)⁢(iiik−1)⁢(i1ik−2)⁢⋯⁢(i1i2)\displaystyle\begin{pmatrix}i_{1}&i_{2}&\cdots&i_{k}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}i_{1}&i_{k}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}i_{i}&i_{k-1}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}i_{1}&i_{k-2}\\ \end{pmatrix}\cdots\begin{pmatrix}i_{1}&i_{2}\\ \end{pmatrix} ∎

Corolario 5.1.

Toda permutacion se escribe como producto de trasposiciones.

Demostración.

Trivial. ∎

Definición 5.19.

Decimos que una permutacion es:

  •  
    ​

    par si se escribe como un numero par de trasposiciones

  •  
    ​

    impar si se escribe como un numero impar de trasposiciones

s:Sn\displaystyle s\colon S_{n} ⟶ℤ2\displaystyle\longrightarrow\mathbb{Z}_{2}
σ\displaystyle\sigma ⟼0⁢ si es par\displaystyle\longmapsto 0\text{ si es par }
σ\displaystyle\sigma ⟼1⁢ si es impar\displaystyle\longmapsto 1\text{ si es impar }
Observación.

La descomposicion con trasposiciones no es unica.

Lema 5.2.

La identidad no se puede poner como un numero impar de trasposiciones.

Demostración.

Hungerford, pg 222. ∎

Teorema 5.3.

Una permutacion no puede ser par e impar a la vez.

Demostración.

Sea σ\displaystyle\sigma una permutacion tal que σ=τ1⁢τ2⁢⋯⁢τm=μ1⁢μ2⁢⋯⁢μn\displaystyle\sigma=\tau_{1}\tau_{2}\cdots\tau_{m}=\mu_{1}\mu_{2}\cdots\mu_{n} con cada τi\displaystyle\tau_{i} y μi\displaystyle\mu_{i} una trasposicion y m\displaystyle m par y n\displaystyle n impar. Entonces

i⁢d=σ⁢σ−1=(τ1⁢τ2⁢⋯⁢τm)⋅(μ1⁢μ2⁢⋯⁢μn)−1=τ1⁢τ2⁢⋯⁢τm⋅μn⁢⋯⁢μ1\displaystyle id=\sigma\sigma^{-1}=(\tau_{1}\tau_{2}\cdots\tau_{m})\cdot(\mu_{% 1}\mu_{2}\cdots\mu_{n})^{-1}=\tau_{1}\tau_{2}\cdots\tau_{m}\cdot\mu_{n}\cdots% \mu_{1}

Hemos escrito i⁢d\displaystyle id como producto de m+n\displaystyle m+n trasposiciones. Pero esto es imposible porque m+n\displaystyle m+n es impar y sabemos que la identidad solo se puede poner como un numero par de trasposiciones. Por tanto, una permutacion no puede ser par e impar a la vez. ∎

Definición 5.20.

Se denomina signatura o signo de una permutacion a la funcion

f:Sn\displaystyle f\colon S_{n} ⟶ℤ2\displaystyle\longrightarrow\mathbb{Z}_{2}
σ\displaystyle\sigma ⟼f⁢(σ)={0⁢ si ⁢σ⁢ es par1⁢ si ⁢σ⁢ es impar\displaystyle\longmapsto f(\sigma)=\begin{dcases}0\text{ si }\sigma\text{ es % par}\\ 1\text{ si }\sigma\text{ es impar}\end{dcases}
Proposición 5.17.

Sea An≔{σ∈Sn∣σ⁢ es par}\displaystyle A_{n}\coloneqq\{\sigma\in S_{n}\mid\sigma\text{ es par}\}. Se cumple que An\displaystyle A_{n} es un subgrupo de Sn\displaystyle S_{n}. An\displaystyle A_{n} recibe el nombre de grupo alternado de grado n\displaystyle n.

Proposición 5.18.

|An|=n!2\displaystyle|A_{n}|=\frac{n!}{2}

5.5 Grupo diedrico

Definición 5.21 (Grupo diedrico).

Sea n≥3\displaystyle n\geq 3. Definimos el grupo diedral o grupo diedrico de grado n\displaystyle n como el conjunto Dn\displaystyle D_{n} formado por los movimientos del plano que dejan invariante un poligono regular de n\displaystyle n lados.

Proposición 5.19.
  •  
    ​

    Dn\displaystyle D_{n} con la composicion de aplicaciones es un grupo.

  •  
    ​

    |Dn|=2⁢n\displaystyle|D_{n}|=2n

  •  
    ​

    Dn={i⁢d,σ,σ2,…,σn−1,τ1,τ2,…,τn}\displaystyle D_{n}=\{id,\sigma,\sigma^{2},\ldots,\sigma^{n-1},\tau_{1},\tau_{% 2},\ldots,\tau_{n}\} donde σ\displaystyle\sigma es el giro de angulo 2⁢π/n\displaystyle 2\pi/n en sentido positivo (antihorario) y τ1,…,τn\displaystyle\tau_{1},\ldots,\tau_{n} son simetrias respecto de los n\displaystyle n ejes que pasan por el centro del poligono.

  •  
    ​

    Ademas:

    • •
      ​

      La identidad y los giros preservan la orientacion

    • •
      ​

      Las simetrias invierten la orientacion.

Ejemplo.
  •  
    ​

    D3={1,σ,σ2,τ1,τ2,τ3}\displaystyle D_{3}=\{1,\sigma,\sigma^{2},\tau_{1},\tau_{2},\tau_{3}\} Composicion simetria y giro: σ⁢τ1:1→3,2→2,3→1=τ3\displaystyle\sigma\tau_{1}:1\to 3,2\to 2,3\to 1=\tau_{3}. σ=τ1⁢τ2:1→2,2→3,3→1\displaystyle\sigma=\tau_{1}\tau_{2}:1\to 2,2\to 3,3\to 1.

  •  
    ​

    D4={1,σ,σ2,σ3,τ1,τ2,τ3,τ4}\displaystyle D_{4}=\{1,\sigma,\sigma^{2},\sigma^{3},\tau_{1},\tau_{2},\tau_{3% },\tau_{4}\}

τ1\displaystyle\tau_{1}τ2\displaystyle\tau_{2}τ3\displaystyle\tau_{3}τ4\displaystyle\tau_{4}1\displaystyle 12\displaystyle 23\displaystyle 34\displaystyle 4D4\displaystyle D_{4}D3\displaystyle D_{3}τ1\displaystyle\tau_{1}τ2\displaystyle\tau_{2}1\displaystyle 12\displaystyle 23\displaystyle 3τ3\displaystyle\tau_{3}σ\displaystyle\sigma
Observación.

Otra forma de escribir Dn=⟨σ,τ∣o⁢(σ)=n,o⁢(τ)=2,τ⁢σ⁢τ=σ−1⟩\displaystyle D_{n}=\langle\sigma,\tau\mid o(\sigma)=n,o(\tau)=2,\tau\sigma% \tau=\sigma^{-1}\rangle (grupo dado por generadores y relaciones).

Observación.

Dn\displaystyle D_{n} puede verse como un subgrupo de Sn\displaystyle S_{n}, numerando los vertices del poligono regular del 1\displaystyle 1 al n\displaystyle n e identificando cada movimiento con la permutacion que induce en el conjunto de los vertices.

Ejemplo.
  •  
    ​

    D3≤S3:\displaystyle D_{3}\leq S_{3}:

    D3={1,(123)⏟σ,(132)⏟σ2,(12)⏟τ1,(23)⏟τ2,(13)⏟τ3}\displaystyle D_{3}=\{1,\underbrace{(123)}_{\sigma},\underbrace{(132)}_{\sigma% ^{2}},\underbrace{(12)}_{\tau_{1}},\underbrace{(23)}_{\tau_{2}},\underbrace{(1% 3)}_{\tau_{3}}\}
  •  
    ​

    D4≤S4:\displaystyle D_{4}\leq S_{4}:

    D4={1,(1234)⏟σ,(13)⁢(24)⏟σ2,(1432)⏟σ3,(24)⏟τ1,(12)⁢(34)⏟τ2,(13)⏟τ3,(14)⁢(23)⏟τ4}\displaystyle D_{4}=\{1,\underbrace{(1234)}_{\sigma},\underbrace{(13)(24)}_{% \sigma^{2}},\underbrace{(1432)}_{\sigma^{3}},\underbrace{(24)}_{\tau_{1}},% \underbrace{(12)(34)}_{\tau_{2}},\underbrace{(13)}_{\tau_{3}},\underbrace{(14)% (23)}_{\tau_{4}}\}