10 Otros criterios de convergencia

10.1 Criterio de Stolz

Proposición 10.1.

Sean (xn)n=1∞\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1} y (yn)n=1∞⊂ℝ\displaystyle(y_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R}.

l⁢ı´⁢mn→∞xn=a∈ℝ¯=ℝ∪{+∞,−∞}yn>0⁢∀n∈ℕl⁢ı´⁢mn→∞∑i=1nyi=l⁢ı´⁢mn→∞(y1+y2+⋯+yn)=+∞}⇒l⁢ı´⁢mn→∞x1⁢y1+x2⁢y2+⋯+xn⁢yny1+y2+⋯+yn=a\displaystyle\begin{rcases}\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{%n\to\infty}x_{n}=a\in\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}\\y_{n}>0\;\forall n\in\mathbb{N}\\\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}y_%{i}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}(y_{1}+y_{2}%+\cdots+y_{n})=+\infty\end{rcases}\Rightarrow\mathop{\operator@font l\acute{{%\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\frac{x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots+x_{n}y_{n}}{y%_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}}=a
Proposición 10.2 (Criterio de la media aritmetica).

Sea (xn)n=1∞⊂ℝ\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R} y l⁢ı´⁢mn→∞xn=a\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}x_{%n}=a. Entonces

l⁢ı´⁢mn→∞x1+x2+⋯+xnn=a\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}%\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}=a
Demostración.

Basta con tomar yn=1,n∈ℕ\displaystyle y_{n}=1,n\in\mathbb{N}, y utilizar el resultado anterior. ∎

Teorema 10.1 (Criterio de Stolz).

Sean (xn)n=1∞\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1} y (yn)n=1∞⊂ℝ\displaystyle(y_{n})^{\infty}_{n=1}\subset\mathbb{R}. Si se cumple:

  •  
    ​

    (yn)\displaystyle(y_{n}) es estrictamente creciente, l⁢ı´⁢myn=+∞\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits y_{n}=+\infty y yn>0\displaystyle y_{n}>0.

  •  
    ​

    l⁢ı´⁢mn→∞xn−xn−1yn−yn−1=a∈ℝ¯\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}%\frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}=a\in\overline{\mathbb{R}}

entonces también sucede que l⁢ı´⁢mn→∞xnyn=a\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}%\frac{x_{n}}{y_{n}}=a.

Demostración.

Dadas las sucesiones (xn)n=1∞\displaystyle(x_{n})^{\infty}_{n=1} e (yn)n=1∞\displaystyle(y_{n})^{\infty}_{n=1}, consideramos las sucesiones {Xn}\displaystyle\{X_{n}\} e {Yn}\displaystyle\{Y_{n}\} definidas por

Xn={x1y1⁢ para ⁢n=1xn−xn−1yn−yn−1⁢ si ⁢n≥2\displaystyle X_{n}=\begin{dcases}\frac{x_{1}}{y_{1}}\text{ para }n=1\\\frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}\text{ si }n\geq 2\end{dcases}
Yn={y1⁢ para ⁢n=1yn−yn−1⁢ si ⁢n≥2\displaystyle Y_{n}=\begin{dcases}y_{1}\text{ para }n=1\\y_{n}-y_{n-1}\text{ si }n\geq 2\end{dcases}

En primer lugar, es evidente que l⁢ı´⁢mn→∞{Xn}=l⁢ı´⁢mn→∞{xn−xn−1yn−yn−1}=a\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\{X%_{n}\}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\{\frac{x%_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}\}=a. Por otra parte, como {yn}\displaystyle\{y_{n}\} es estrictamente creciente, ∀n≥2⁢Yn>0\displaystyle\forall n\geq 2\;Y_{n}>0, y como l⁢ı´⁢mn→∞{yn}=+∞\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\{y%_{n}\}=+\infty, se verifica que

l⁢ı´⁢mn→∞{Y1+Y2+⋯+Yn}=l⁢ı´⁢mn→∞{y1+(y2−y1)+⋯+(yn−yn−1)}=l⁢ı´⁢mn→∞{yn}=+∞\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\{Y%_{1}+Y_{2}+\cdots+Y_{n}\}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n%\to\infty}\{y_{1}+(y_{2}-y_{1})+\cdots+(y_{n}-y_{n-1})\}=\mathop{%\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\{y_{n}\}=+\infty

En consecuencia, estamos bajo las hipotesis de la proposición 10.1 y

a=l⁢ı´⁢mn→∞X1⁢Y1+X2⁢Y2+⋯+Xn⁢YnY1+Y2+⋯+Yn=l⁢ı´⁢mn→∞x1−0y1−0⁢(y1−0)+⋯+xn−xn−1yn−yn−1⁢(yn−yn−1)(y1−0)+(y2−y1)+⋯+(yn−yn−1)==l⁢ı´⁢mn→∞x1+(x2−x1)+⋯+(xn−xn−1)yn=l⁢ı´⁢mn→∞xnyna=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\frac{X_{1}Y_{%1}+X_{2}Y_{2}+\cdots+X_{n}Y_{n}}{Y_{1}+Y_{2}+\cdots+Y_{n}}=\mathop{%\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{x_{1}-0}{y_{%1}-0}(y_{1}-0)+\cdots+\frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}(y_{n}-y_{n-1})}{(y_{%1}-0)+(y_{2}-y_{1})+\cdots+(y_{n}-y_{n-1})}=\\=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\frac{x_{1}+(x_%{2}-x_{1})+\cdots+(x_{n}-x_{n-1})}{y_{n}}=\mathop{\operator@font l\acute{{%\imath}}m}\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}

∎